지난 세기 가장 위대한 수학적 지성 가운데 한 사람을 정교하고도 철저하게 파헤친 매혹적인 이야기이다. 쿠르트 괴델의 삶에서 잘 추려 낸 에피소드들을 교묘하게 엮어서 그의 가장 경이로운 위업, 곧 참이면서도 증명불가능한 명제가 존재한다는 사실에 대한 증명을 세밀하면서도 놀랍도록 쉽게 풀어낸다. 소설가로서의 기교와 과학철학자로서의 통찰을 결합하여 괴델의 정리와 그 현란한 귀결들을 이해하기 쉽도록 펼쳐 보임은 물론 괴팍스럽고도 처절한 천재의 삶을 생생히 그려 나간다. 『불완전성』은 괴델의 삶과 세계, 그리고 그의 업적에 바쳐진 새롭고도 중요한 찬양이다.

출판사 서평
역사상 가장 흥미로운 증명에 대한 꼭 읽어야 할 책!
20세기 초, 고전물리학과 수학의 토대를 이루는 가정들에 몇 번의 타격이 가해졌다. 상대성이론은 그때까지 확립되어 있던 시간과 공간의 개념을 뒤엎었으며, 양자역학의 연구들은 결정론과 인과율에 관한 기본적 인식을 송두리째 흔들었다. 또한 집합론에서도 러셀의 패러독스 등 여러 가지 모순들이 나타났다. 특히 모든 과학에 대한 수학의 중요성에 비춰 볼 때 가장 폭발적인 것은 수학적 추론을 체계화하고자 하는 모든 시도에 메울 길 없는 틈이 있음을 밝혀낸 불완전성정리인데, 언뜻 거의 ...
역사상 가장 흥미로운 증명에 대한 꼭 읽어야 할 책!
20세기 초, 고전물리학과 수학의 토대를 이루는 가정들에 몇 번의 타격이 가해졌다. 상대성이론은 그때까지 확립되어 있던 시간과 공간의 개념을 뒤엎었으며, 양자역학의 연구들은 결정론과 인과율에 관한 기본적 인식을 송두리째 흔들었다. 또한 집합론에서도 러셀의 패러독스 등 여러 가지 모순들이 나타났다. 특히 모든 과학에 대한 수학의 중요성에 비춰 볼 때 가장 폭발적인 것은 수학적 추론을 체계화하고자 하는 모든 시도에 메울 길 없는 틈이 있음을 밝혀낸 불완전성정리인데, 언뜻 거의 모순적으로 보이지만 참으로 놀라운 결론이다. 이 발견의 배경에 자리 잡은 천재 쿠르트 괴델은 그 자신이 모순적인 인간이었다. 아리스토텔레스 이후 가장 위대한 논리학자였던 그는 만년의 아인슈타인에게 가장 가까운 지적 동료이기도 했다. 한편 그는 괴벽스러운 기질이 있었으며 편집증적 논리에 빠져 살았고 결국 이 때문에 비극적인 죽음을 맞았다. 이처럼 비이성적인 삶을 살았음에도 불구하고 그는 이성을 굳게 믿었다. 독창적인 증명을 통해 그는 충분히 복잡한 체계, 요컨대 수학자들이 사용하고자 하는 체계라면 어떤 것이든 참이면서도 증명불가능한 명제가 반드시 존재한다는 사실을 밝혀냈다. 이 결과에 절망하는 사상가들이 있는가 하면 거목 비트겐슈타인과 같은 사람들은 결코 받아들이려 하지 않았다. 심지어 어떤 사람들은 오해에 빠진 나머지 이를 합리성이란 배에 정면으로 돌진하는 어뢰로 여겼다. 하지만 괴델이 보기에 이는 인간의 마음으로는 오직 불완전하게 헤아릴 수밖에 없는, 인간과 독립적으로 존재하는 영원불멸의 객관적 진리에 대한 증거였다. 레베카 골드스타인은 소설가로서의 기교와 과학철학자로서의 통찰을 결합하여 괴델의 정리와 그 현란한 귀결들을 이해하기 쉽도록 펼쳐 보임은 물론 괴팍스럽고도 처절한 천재의 삶을 생생히 그려 나간다. 『불완전성』은 괴델의 삶과 세계, 그리고 그의 업적에 바쳐진 새롭고도 중요한 찬양이다.
?『불완전성』에 대한 찬사
골드스타인은 엄청난 일을 해낸다.
앤터니 도어(Anthony Doerr),
속임수처럼 마음을 빼앗는다. …『불완전성』은 독자들의 가슴속에 홀리는 듯한 목소리로 수수께끼와 같은 과학적 천재를 그린 또 다른 책 『경도(Longitude)』처럼 마음에 와 닿는다. …골드스타인은 드높은 이론적 탐구를 낮은 땅으로 안착시키는 데에 뛰어난 재주를 가졌다. …우리는 괴델의 탁월함은 물론 그가 나중에 겪는 처절한 신경증을 절감하면서 『불완전성』을 덮게 된다.
데이빗 키펜(David Kipen),
대단하다. …골드스타인의 책은 노턴출판사의 를 빛낼 뛰어난 선택이다. 그녀의 철학적 배경은 바탕을 이루는 아이디어에 대한 믿을 만한 안내자이며, 성격과 분위기에 대한 소설적 깊이를 지닌 묘사는 논리적 패턴을 향한 쉴 새 없는 탐구 속에서 고통 받다가 점차 어두운 편집증으로 빠져 드는 논리학자의 심상에 공감하는 자세를 잘 드러내 준다.
골드스타인은 괴델의 머릿속으로 들어가 어찌 돌아가는지 보여 준다. 그녀는 괴델의 수학을 그의 넓은 철학적 탐사의 한 귀결로 그린다. 그녀가 보기에 괴델은 우선적으로 철학자이며, 수학을 통해 그의 생각을 펼칠 따름이다. 중요하지만 잘 알려지지 않았던 괴델과 라이프니츠 사이의 강한 연대는 특히 잘 묘사되어 있다. 극력 추천할 만하다.
그레고리 채틴(Gregory J. Chaitin), 『초수학: 오메가의 의문』의 저자
이것은 인간 지식의 변경을 탐색하는 어려운 주제다. 지은이는 괴델, 비트겐슈타인, 아인슈타인의 작품과 우정, 그리고 그 셋의 차이를 교묘하게 인간적으로 그려 내고 있다. 아마 소설가만이 이런 일을 해낼 수 있을 텐데, 어쨌든 골드스타인은 탁월하게 해냈다.
-존 더비셔(John Derbyshire), 『리만 가설』의 저자,
골드스타인의 가벼운 터치는 독자들이 충분히 즐길 만하다.
-마틴 데이비스(Martin Davis),
\"이 책은 보석이다. 그 안에는 기념비적 아이디어와 이를 발견한 사람, 그리고 부상(浮上)의 배경이 되는 다채로운 시대에 관한 매력적인 이야기가 담겨 있다. 역량 있는 소설가이자 철학자인 레베카 골드스타인은 정신적 창조물에 대한 명료한 설명은 물론 그 아이디어 및 이를 다룬 사람들에 대해 만족스럽고도 독창적이 해설을 내놓는다. 우아함과 열정으로 쓰인 『불완전성』은 인류 사상사의 가장 위대한 순간 가운데 하나에 대한 잊혀지지 않을 작품이다.”
-스티븐 핑커, 하버드 대학교 존스턴 심리학 교수, 『마음은 어떻게 작동하는가』『빈 서판』의 저자
『불완전성』은 지난 세기 가장 위대한 수학적 지성 가운데 한 사람을 정교하고도 철저하게 파헤친 매혹적인 이야기이다. 쿠르트 괴델의 삶에서 잘 추려 낸 에피소드들을 교묘하게 엮어서 그의 가장 경이로운 위업, 곧 참이면서도 증명불가능한 명제가 존재한다는 사실에 대한 증명을 세밀하면서도 놀랍도록 쉽게 풀어낸다. 이 이야기를 통해 골드스타인은 괴델의 고뇌와 천재성을 동시에 드러내고 있다. 책을 덮을 무렵 우리 모두는 왜 아인슈타인이 ‘괴델과 함께 다니는 특권’을 고대했는지 깊이 이해하게 되며, 우리 또한 그들과 함께 하고 싶은 소망을 억누를 수 없게 된다.
-브라이언 그린, 『엘러건트 유니버스』와 『우주의 구조』의 저자
통찰력 있는 안목으로 쉽고도 아름답게 쓴 이 책에서 레베카 골드스타인은 가장 위대한 수학자 가운데 한 사람의 위업과 함께 인간 지성과 이를 둘러싼 세계 사이의 관계를 탐구하고 나선다.
-앨런 라이트맨, 『아인슈타인의 꿈』의 저자
아마존 독자 서평
일반인을 위한 괴델 이야기
내가 가르치는 ‘지식의 이론’이란 강좌에서 나는 해마다 괴델의 불완전성에 대해 다루려고 했다. 그 큰 이유는, 괴델의 업적이 매우 중요하다는 점을 잘 알기는 하지만, 그것에 대해 나 스스로부터 썩 잘 이해하지 못하기 때문이었다. 그런데 괴델의 증명에 대한 골드스타인의 비유는 바로 내가 이해할 수 있는 종류의 것이었다. -Peter Payne
좋은 책이다!
나는 수학자도 논리학자도 철학자도 아니지만 이 세 분야에 모두 관심이 있는 평범한 사람이다. 컴퓨터를 전공했기에 괴델이 나중에 튜링이 나아갈 길의 기초를 닦았다는 사실을 이미 알고는 있었다. 그러나 괴델의 정리와 그 의의에 대해서는 잘 몰랐는데, 이 주제를 다룬 것으로 처음 읽은 이 책은 흥미로울 뿐 아니라 이해하기에도 편했다. …골드스타인은 괴델의 증명을 명료한 필치로 끈질기게 설명하고 있다. 비록 그 요체를 모두 확연히 이해했다고는 못하겠지만 더욱 깊이 공부해야겠다는 동기를 얻기에 충분했다. -Srikanth Meenakshi (Virginia, USA)
이제 괴델을 알겠다!
1999년 지가 20세기에 가장 많은 영향을 끼친 100인 가운데 한 사람으로 쿠르트 괴델을 꼽을 때까지 심지어 지식인들 중에서도 그는 생소한 인물이었다. 더글러스 호프스태터가 『괴델, 에셔, 바흐』를 통해 할 말을 마치고 떠난 자리에서 레베카 골드스타인은 우아하고도 편안하게, 때로 어쩔 수 없이 심원해지기는 하지만, 이 위대한 수학자이자 논리학자의 생애와 업적을 차분히 그려 내고 있다.
-A.R. Cellura (Abbeville, SC)
역사상 가장 흥미로운 증명에 대한 꼭 읽어야 할 책
정신을 홀리는 이 책은 탁월하지

괴델의 정리라 함은 일반적으로 다음과 같은 사실을 뜻한다. 수론에 적합한 어떤 형식체계에나 결정불능의 식, 곧 그 자체는 물론 그 부정도 증명할 수 없는 식이 존재한다(이 명제를 때로 괴델의 제1정리라고 부른다). 이로부터 수론에 적합한 어떤 형식체계의 무모순성은 그 체계 안에서는 증명할 수 없다는 따름정리가 나온다(때로 이 따름정리를 괴델의 정리라고 부르며, 괴델의 제2정리라고 부르기도 한다). -본문 중에서

전통적으로 거짓말쟁이역설의 기원은 크레타인 에피메니데스로 보며 “모든 크레타인은 거짓말쟁이다”라는 뜻의 말을 했다고 전해진다. 이 문장 자체는 역설적으로 보이지 않지만, 에피메니데스가 다음과 같은 뜻으로 말했다고 보는 한 역설이 된다. “이 문장은 거짓이다.” 이미 보았다시피 이 문장은 오직 그것이 거짓일 때만 참이며, 논리적으로 볼 때 이는 좋지 않은 상황이다. 괴델의 전략은 이 역설적 문장과 비슷한 명제를 생각하는 데에서 출발한다. -본문 중에서

힐베르트의 첫째 문제는 칸토어의 연속체가설에 관한 것인데, 이 가설은 도대체 무엇일까? 19세기의 위대한 수학자 게오르크 칸토어는, 대략 말하자면, 실수와 자연수의 개수는 모두 무한이지만 실수의 개수가 자연수의 개수보다 많다는 사실을 증명했다…… 괴델과 폴 코헨은 현재의 집합론 안에서 연속체가설은 참이나 거짓 그 어느 것으로도 판정할 수 없음을 증명했던 것이다. 다시 말해서 연속체가설은 증명도 반증도 할 수 없으므로 그에 대해 우리는 언제까지나 알 수 없는 상태로 남을 수밖에 없고, 이에 따라 바로 힐베르트가 있을 수 없다고 말한 무지의 한 예가 되었다. -본문 중에서

“그(괴델)는 수학에 대한 악마이다. 괴델 이후에는 수학이 신의 언어일 뿐 아니라 우리가 우주와 만물을 이해하기 위해 해독해야 할 언어라는 생각은 더 이상 성립할 수 없게 되었다. 이는 우리가 살고 있는 방대한 포스트모던적 불확실성의 일부이다.” 우리의 형식적 사고체계에도 불완전성이 필연적이란 사실은 어떤 체계가 안주할 확고부동한 근거는 있을 수 없다는 뜻이다. 참으로 확실하여 어떤 개정 가능성도 없을 것처럼 보이는 진리들도 본질적으로는 모두 만들어진 것들이다. 실제로 객관적 진리라는 관념 자체도 사회적으로 구축된 신화에 지나지 않는다. 우리의 인식 기능은 진리에 근거해 있지 않다. 오히려 진리라는 관념 전체가 우리의 정신에 근거를 두고 있으며, 잘 인식되지는 않지만 정신은 다시 영향력의 유기적 형태에 대한 충복일 따름이다. 이런 점에서 인식론은 권력의 사회학에 지나지 않는다. 괴델 논리의 포스트모던적 버전은 대략 말하자면 이런 식으로 전개된다. -본문 중에서

다른 사색가들은 인간 정신의 본질과 관련하여 괴델의 정리에 내포된 암시를 완전히 다른 방향으로 이끌어 간다. 예를 들어 로저 펜로즈(Roger Penrose)는 베스트셀러가 된 두 권의 저서 『황제의 새 마음(The Emperor's New Mind)』과 『마음의 그림자(Shadows of the Mind)』에서 우리의 마음은 그 본질이 무엇이든 결코 디지털 컴퓨터가 될 수 없다는 자신의 논리를 뒷받침하는 핵심적 근거로 불완전성정리를 활용했다. 펜로즈에 따르면 괴델의 정리는 가장 정교하게 법칙에 따라 진행하는 사고과정, 곧 수학이란 학문에서도 우리는 컴퓨터 프로그램이라는 기계적 절차로 결코 환원될 수 없는 진리발견의 과정을 동원해야 한다...... -본문 중에서

목차
들어서면서
망명객들
제1장 실증주의자들 중의 플라톤주의자
첫사랑 / 혼돈의 과거를 벗어나 새 터전을 찾는 도시 / 빈서클 / 빈서클의 주역들 /
재선포: 인간은 만물의 척도 / 비트겐슈타인과 빈서클 / 말할 수 없는 것 /
빈서클의 괴델: 침묵의 반대자 / 괴델과 비트겐슈타인
제2장 힐베르트와 형식주의자들
수학자의 직관 / 형식화되는 수학 /
힐베르트의 둘째 문제: 산술의 무모순성(있을 수 없는 가장 중요한 증명)
제3장 불완전성의 증명
쾨니히스베르크의 괴델 / 간과된 괴델의 위대한 첫 순간: 사소하지 않은 사소함 /
가장 조용한 폭발: 괴델이 그의 결과를 발표하다 / 폰 노이만이 암시를 붙잡다 /
제1불완전성정리: 전반적 전략 / 제1단계: 형식체계의 수립 / 제2단계: 괴델기수법 /
제3단계: 증명불능이라 하기 때문에 참인 명제 만들기 / 제2불완전성정리 /
비트겐슈타인과 불완전성 / 퍼져 가는 불완전성
제4장 괴델의 불완전성
홍학 / 커피가 맛을 잃다 / 구제불능의 논리 / “나는 부정적 결정밖에 할 수 없다” /
불완전성(모두 다시 한 번)
참조 자료
참고 문헌
감사의 글
옮긴이의 글
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