이 책에서 다루는 내용

기초부터 시작해 새천년 전후 놀랍게 발달한 수많은 핵심 부분을 체계화하는 이 책은 양자정보 이론에 입문하려는 대학원생에게 이상적인 출발점이다. 양자정보 이론을 위한 양자역학에서 시작해서 양자순간이동, 초고밀도 부호화, 얽힘 분배 등의 중요한 통신규약에 대한 세심한 연구를 소개한다.

이번의 2판에서는 벨 정리에 대한 자세한 논의, CHSH 게임, 치렐슨 정리, 양자 통신 선로의 공리적 접근법, 다이아몬드 노름의 정의와 해석, 최-크라우스 정리의 증명 등을 포함하는 100쪽 이상의 새로운 내용을 찾아볼 수 있다. 양자 동역학적 용량 공식의 중요성에 대한 논의는 완전히 개정했고, 새로운 연습문제와 참고문헌이 추가됐다. 이 새 판은 양자정보 이론의 새로운 세대와 고전정보 이론의 기존 구성원들에게 따뜻한 환영을 받을 것이다.

이 책의 대상 독자

책의 내용을 이해하기 위해서는 사전지식은 확률론과 선형대수학에 대한 튼튼한 배경지식이 필요하다. 만약 정보 이론을 처음 접한다면, 속도를 올리기 위해 충분한 배경지식이 필요할 것이다. 정보 이론에 대한 고전적 교재로 커버(Cover)와 토마스(Thomas)의 『Elements of Information Theory 2nd Edition』(Wiley-Interscience, 2006) 그리고 맥케이(MacKay)『Information Theory, Inference, and Learning Algorithms』(Cambridge University Press, 2003)의 책이 참고자료로 도움이 될 것이다. 만약 양자역학을 처음 접한다면, 이 책의 2부에서 양자 섀넌 이론을 이해하는 데 필요한 배경지식을 제공하는 충분한 자료가 있다. 닐슨(Nielsen)과 추앙(Chuang)이 쓴, 때로는 애정을 담아서 ‘마이크와 아이크(Mike and Ike)’라고도 알려진 책 『양자계산과 양자정보』(에이콘출판, 2022)는 양자정보 과학을 공부하는 학생들에게 표준적인 시작점이 됐고, 또한 도움이 될 것이다. 그 책의 내용은 닐슨의 박사학위 논문(1998)에서도 찾아볼 수 있다. 만약 섀넌의 정보 이론에 익숙하다면(가령 커버와 토마스의 2006년 책 수준 정도로), 지금 보는 이 책이 양자 섀넌 이론 분야를 시작하기 좋은 지점일 것이다.

이 책의 구성

이 책의 목적은 많은 전공자에게 양자 섀넌 이론이라고 알려진 일반적인 연구 분야의 놀라운 새천년 전후의 발전사항들을 ‘밑바닥에서부터’ 세울 수 있게 해주는 것이다. 따라서 양자정보 이론을 위한 양자역학에 많은 시간을 사용하고(2부), 양자원격전송의 중요한 단위 통신규약, 초고밀도 부호화, 얽힘 분배를 신중하게 공부하고(3부), 양자정보의 전송과 압축에 필요한 많은 도구를 배울 것이다(4부). 이 책의 5부와 6부는 그 정수로, 양자 섀넌 이론의 수많은 주요 성과를 이해하는 데 도움을 주는 모든 도구를 배울 것이다.

옮긴이의 말

양자역학을 적극적으로 사용하는 양자 기술이 발전함에 따라, 바야흐로 양자 컴퓨터와 양자 통신의 시대가 다가오고 있다. 양자 컴퓨터와 양자 통신에서 처리하는 정보의 단위인 큐비트는 중첩, 얽힘과 같이 고전적으로는 설명할 수 없는 특성이 있으며, 고전 비트와는 성질이 완전히 다르다. 이에 따라 고전적인 정보 이론은 양자 컴퓨터와 양자 통신의 정보 처리 과정을 완전히 기술하기에는 부적합하며, 양자정보를 위한 양자정보 이론이 필수적으로 요구된다.

정보 이론이란 컴퓨터와 통신에서 정보를 다룰 때 얼마나 효율적으로 처리할 수 있는지를 이론적으로 연구하는 분야다. 정보 이론은 전통적으로 컴퓨터과학과 수학의 연구 분야였으나, 양자계산과 양자정보의 개념이 도입됨에 따라 물리학의 연구 분야로도 확장됐다.

양자정보 이론은 양자역학의 개념들을 정보 이론에 접목한 것으로, 간단히 설명한다면 양자역학적으로 정보를 처리함에 있어 얼마나 효율적으로 다룰 수 있는지, 양자 통신을 사용해 정보를 전달할 때 어떤 자원이 얼마나 필요한지에 대한 이론 체계다. 양자정보 이론의 체계는 고전적인 정보 이론을 체계적으로 정립한 클로드 섀넌의 체계를 대체로 따라간다. 하지만 고전 비트와 큐비트의 본질적인 차이가 존재하기 때문에 양자정보 이론은 고전적인 정보 이론을 넘어서는 개념들이 필요하다. 이 책에서는 이를 위해 필요한 개념과 이론적 도구를 정의하고, 정보에 관한 고전적 개념과 양자적 개념의 차이 및 공통점을 설명한다.

이 책은 저자가 양자정보 이론에 대해 연구하고 강의한 내용을 엮은 것으로, 양자정보 이론에 입문하려는 학생과 연구자를 대상으로 한다. 저자는 큐비트와 양자정보의 기본 개념에서부터 시작해 양자정보 엔트로피와 관련된 각종 부등식을 소개하고, 고전적인 통신공학과 정보 이론의 중요한 개념과 통신규약을 양자정보의 개념으로 확장한다. 이를 통해 양자 섀넌 엔트로피, 양자 상호 정보, 홀레보 정보, 양자 전형성 그리고 양자 통신 용량 정리에 이르는 개념들을 도입하고 설명한다. 역자로서 대가의 책을 번역하는 작업은 쉽지 않은 일이었으나, 또한 흥미롭고 놀라운 내용이 담겨 있어 즐겁게 작업할 수 있었다. 번역 작업을 하면서 원서의 내용을 가능한 한 있는 그대로 독자들에게 전달하고자 노력했다. 다만, 원서의 탁월한 설명이 번역서를 읽는 독자들에게 와 닿지 않는다면 그것은 오롯이 역자의 책임일 것이다. 이 책이 양자정보 이론에 입문하려는 학생과 연구자에게 도움이 되기를 바란다.

1부. 소개

1장. 양자 섀넌 이론의 개념
1.1 양자 이론의 개괄
1.1.1 양자 이론의 간략한 역사
1.1.2 양자 이론의 기본 개념
1.2 양자 섀넌 이론의 출현
1.2.1 섀넌의 정보 비트
1.2.2 양자정보의 척도
1.2.3 양자 섀넌 이론의 조작적 작업
1.2.4 양자 섀넌 이론의 역사

2장. 고전 섀넌 이론
2.1 자료 압축
2.1.1 자료 압축의 사례
2.1.2 정보의 척도
2.1.3 섀넌의 원천 부호화 정리
2.2 선로 용량
2.2.1 오류 교정 부호의 예
2.2.2 섀넌의 선로 부호화 정리
2.2.3 선로 부호의 일반 모형
2.2.4 섀넌의 선로 부호화 정리 증명을 위한 밑그림
2.3 정리

2부. 양자 이론

3장. 무잡음 양자 이론
3.1 개괄
3.2 양자 비트
3.3 가역 변화
3.3.1 연산자의 행렬 표현
3.3.2 교환자와 반교환자
3.3.3 파울리 행렬
3.3.4 아다마르 게이트
3.3.5 회전 연산자
3.4 측정
3.4.1 연산자의 확률, 기댓값, 분산
3.4.2 불확정성 원리
3.5 복합 양자계
3.5.1 복합계의 변화
3.5.2 복합계의 확률 진폭
3.5.3 제어형 게이트
3.5.4 복제 불가 정리
3.5.5 복합계의 측정
3.6 얽힘
3.6.1 자원으로서의 얽힘
3.6.2 CHSH 게임에서의 얽힘
3.6.3 벨 상태
3.7 정리와 큐디트 상태로의 확장
3.7.1 큐디트
3.7.2 유니터리 변화
3.7.3 큐디트의 측정
3.7.4 큐디트의 복합계
3.8 슈미트 분해
3.9 역사와 더 읽을거리

4장. 유잡음 양자 이론
4.1 유잡음 양자 상태
4.1.1 밀도 연산자
4.1.2 앙상블들의 앙상블
4.1.3 앙상블의 무잡음 변화
4.1.4 특별한 경우로서의 확률론
4.2 유잡음 양자 이론의 측정
4.2.1 POVM 형식 체계
4.3 복합 유잡음 양자계
4.3.1 독립 앙상블
4.3.2 분리 가능한 상태
4.3.3 국소 밀도 연산자와 부분 대각합
4.3.4 고전-양자 앙상블
4.4 양자 변화
4.4.1 양자 변화의 공리적 접근
4.4.2 양자 선로의 유일한 명세
4.4.3 양자 선로의 직렬 연결
4.4.4 양자 선로의 병렬 연결
4.4.5 단위 사상과 양자 선로의 수반 연산자
4.5 양자 선로의 해석
4.5.1 출력 측정의 손실로서의 유잡음 변화
4.5.2 유니터리 상호 작용에서 나타나는 유잡음 변화
4.6 양자 선로는 모든 것을 아우른다
4.6.1 양자 선로의 준비와 덧붙임
4.6.2 대각합 씻음 선로와 버림 선로
4.6.3 유니터리 선로와 등척 선로
4.6.4 고전-대-고전 선로
4.6.5 고전-대-양자 선로
4.6.6 양자-대-고전 선로(측정 선로)
4.6.7 얽힘파괴 선로
4.6.8 양자 기기
4.7 양자 선로의 사례
4.7.1 무작위 유니터리 연산으로부터의 잡음 변화
4.7.2 위상이완 선로
4.7.3 파울리 선로
4.7.4 탈분극화 선로
4.7.5 진폭감쇠 선로
4.7.6 삭제 선로
4.7.7 조건부 양자 선로
4.8 정리
4.9 역사와 더 읽을거리

5장. 정화된 양자 이론
5.1 양자정화
5.1.1 양자정화의 해석
5.1.2 양자정화의 등가성
5.1.3 양자 상태의 확장
5.2 등척 변화
5.2.1 사례: 비트반전 선로의 등척 확장
5.2.2 양자 선로의 등척 확장
5.2.3 등척 확장의 더 많은 사례
5.2.4 양자 선로의 등척 확장과 수반 사상
5.3 결맞은 양자 기기
5.4 결맞은 측정
5.5 역사와 더 읽을거리

3부. 단위 양자 통신 규약

6장. 세 가지 단위 양자 통신 규약
6.1 비국소적 단위 자원
6.2 통신 규약
6.2.1 얽힘 분배
6.2.2 초등 부호화
6.2.3 양자 초고밀도 부호화
6.2.4 양자원격전송
6.3 세 가지 단위 통신 규약의 최적성
6.4 양자 섀넌 이론의 확장
6.5 세 가지 단위 큐디트 통신 규약
6.5.1 얽힘 분배
6.5.2 양자 초고밀도 부호화
6.5.3 양자원격전송
6.6 역사와 더 읽을거리

7장. 결맞은 통신 규약
7.1 결맞은 통신의 정의
7.2 결맞은 비트 선로의 구현
7.3 결맞은 초고밀도 부호화
7.4 결맞은 원격전송
7.5 결맞은 통신 항등식
7.6 역사와 더 읽을거리

8장. 단위 자원 용량 영역
8.1 단위 자원 도달 가능 영역
8.2 직접 부호화 정리
8.3 역정리
8.4 역사와 더 읽을거리

4부. 양자 섀넌 이론의 도구

9장. 거리 척도
9.1 대각합 거리
9.1.1 대각합 노름
9.1.2 대각합 노름으로부터 대각합 거리
9.1.3 확률 차이로서의 대각합 거리
9.1.4 대각합 거리의 조작적 해석
9.1.5 대각합 거리 보조정리
9.1.6 선로 구분 가능성과 다이아몬드 노름
9.2 충실도
9.2.1 순수 상태의 충실도
9.2.2 기대 충실도
9.2.3 울만 충실도
9.2.4 충실도의 성질
9.2.5 측정이 충실도를 만든다
9.3 대각합 거리와 충실도의 관계
9.4 약한 측정
9.5 양자 선로의 충실도
9.5.1 양자 선로의 기대 충실도
9.5.2 얽힘 충실도
9.5.3 기대 충실도와 얽힘 충실도
9.6 힐베르트-슈미트 거리 척도
9.7 역사와 더 읽을거리

10장. 고전 정보와 엔트로피
10.1 무작위 변수의 엔트로피
10.1.1 이항 엔트로피 함수
10.1.2 엔트로피의 수학적 성질
10.2 조건부 엔트로피
10.3 결합 엔트로피
10.4 상호 정보
10.5 상대 엔트로피
10.6 조건부 상호 정보
10.7 엔트로피 부등식
10.7.1 상대 엔트로피의 비음수성
10.7.2 자료 처리 부등식
10.7.3 파노 부등식
10.7.4 엔트로피의 연속성
10.8 엔트로피 부등식이 거의 등식인 경우
10.8.1 핀스커 부등식
10.8.2 엔트로피 부등식의 개량
10.9 양자계에서의 고전 정보
10.9.1 POVM의 섀넌 엔트로피
10.9.2 접근 가능한 정보
10.9.3 2분할 상태의 고전적 상호 정보
10.10 역사와 더 읽을거리

11장. 양자정보와 엔트로피
11.1 양자 엔트로피
11.1.1 양자 엔트로피의 수학적 성질
11.1.2 양자 엔트로피의 다른 특징
11.2 결합 양자 엔트로피
11.2.1 순수 2분할 상태의 한계 엔트로피
11.2.2 가법성
11.2.3 고전-양자 상태의 결합 양자 엔트로피
11.3 조건부 양자 엔트로피의 아직 불만족스러운 잠재적 정의
11.4 조건부 양자 엔트로피
11.4.1 고전-양자 상태에 대한 조건부 엔트로피
11.4.2 음의 조건부 양자 엔트로피
11.5 결맞은 정보
11.6 양자 상호 정보
11.6.1 홀레보 정보
11.7 조건부 양자 상호 정보
11.7.1 CQMI의 비음수성
11.8 양자 상대 엔트로피
11.8.1 양자 상대 엔트로피에서 다른 엔트로피의 유도
11.8.2 양자 상대 엔트로피의 수학적 성질
11.9 양자 엔트로피 부등식
11.9.1 양자 엔트로피 부등식들의 동등함
11.9.2 양자 자료 처리
11.9.3 엔트로피 불확정성 원리
11.10 양자 엔트로피의 연속성
11.11 역사와 더 읽을거리

12장. 양자 엔트로피 부등식과 복원 가능성
12.1 복원 가능성 정리
12.2 샤튼 노름과 복소 보간법
12.2.1 샤튼 노름과 쌍대성
12.2.2 복소해석학
12.2.3 샤튼 노름의 복소 보간법
12.3 페츠 복원 사상
12.4 레니 정보 척도
12.5 복원 가능성 정리의 증명
12.6 양자 엔트로피 부등식의 개량
12.6.1 강한 준가법성
12.6.2 조건부 양자 엔트로피의 오목성
12.6.3 양자 상대 엔트로피의 결합 볼록성
12.6.4 양자 불일치의 비음수성
12.6.5 홀레보 한계
12.7 역사와 더 읽을거리

13장. 양자 선로의 정보
13.1 고전 선로의 상호 정보
13.1.1 고전 선로의 정규화된 상호 정보
13.1.2 가법성
13.1.3 정규화와 관련된 문제
13.1.4 고전 선로의 상호 정보를 최적화하기
13.2 도청 선로의 비밀 정보
13.2.1 비밀 정보의 가법성
13.2.2 감쇠된 도청 선로
13.3 양자 선로의 홀레보 정보
13.3.1 특정 선로에 대한 홀레보 정보의 가법성
13.3.2 홀레보 정보의 최적화
13.4 양자 선로의 상호 정보
13.4.1 가법성
13.4.2 양자 선로의 상호 정보를 최적화하기
13.5 양자 선로의 결맞은 정보
13.5.1 몇몇 선로에 대한 결맞은 정보의 가법성
13.5.2 결맞은 정보를 최적화하기
13.6 양자 선로의 비밀 정보
13.6.1 비밀 정보와 결맞은 정보
13.6.2 감쇠 가능한 선로의 비밀 정보의 가법성
13.7 정리
13.8 역사와 더 읽을거리

14장. 고전 전형성
14.1 전형성의 사례
14.2 약한 전형성
14.3 전형적 집합의 성질
14.3.1 전형적 집합의 성질의 증명
14.4 응용: 자료 압축
14.5 약한 결합 전형성
14.5.1 결합된 전형적 집합의 성질
14.6 약한 조건부 전형성
14.6.1 조건부 전형적 집합의 성질
14.7 강한 전형성
14.7.1 형식과 강한 전형성
14.7.2 강한 전형적 집합의 성질
14.7.3 강한 전형적 집합의 성질 증명
14.7.4 전형적 형식류의 농도
14.8 강한 결합 전형성
14.8.1 강하게 결합된 전형적 집합의 성질
14.9 강한 조건부 전형성
14.9.1 강한 조건부 전형성의 정의
14.9.2 강한 조건부 전형적 집합의 성질
14.9.3 강한 조건부 전형적 집합의 성질 증명
14.10 응용: 선로 용량 정리
14.11 맺음말
14.12 역사와 더 읽을거리

15장. 양자 전형성
15.1 전형적 부분공간
15.1.1 전형적 부분공간 측정
15.1.2 전형적 집합과 전형적 부분공간의 차이
15.1.3 전형적 부분공간의 성질
15.1.4 2분할 또는 다분할 상태의 전형적 부분공간
15.1.5 고전 상태에 대한 결합된 전형적 부분공간
15.2 조건부 양자 전형성
15.2.1 약한 조건부 양자 전형성
15.2.2 약한 조건부 전형적 부분공간의 성질
15.2.3 강한 조건부 양자 전형성
15.2.4 강한 조건부 전형적 부분공간의 성질
15.2.5 강한 조건부 전형적 부분공간의 성질 증명
15.2.6 강한 조건부 양자 전형성과 한계 양자 전형성
15.3 양자계에 대한 형식 기법
15.4 맺음말
15.5 역사와 더 읽을거리

16장. 포장 보조정리
16.1 사례 소개
16.2 포장 보조정리의 상황
16.3 포장 보조정리의 내용
16.4 포장 보조정리의 증명
16.4.1 부호 구성
16.4.2 POVM 구성
16.4.3 오류 분석
16.5 비무작위화와 삭제
16.6 순차적 복호화
16.7 역사와 더 읽을거리

17장. 덮음 보조정리
17.1 사례 소개
17.2 덮음 보조정리의 상황과 내용
17.3 연산자 체르노프 한계
17.4 덮음 보조정리의 증명
17.4.1 체르노프 앙상블의 구성
17.4.2 체르노프 부호의 구성
17.4.3 덮음 부호의 혼동 오류
17.5 역사와 더 읽을거리

5부. 무잡음 양자 섀넌 이론

18장. 슈마허 압축
18.1 정보 처리 작업
18.2 양자 자료 압축 정리
18.2.1 직접 부호화 정리
18.2.2 역정리
18.3 양자 압축의 사례
18.4 슈마허 문제의 변형
18.5 맺음말
18.6 역사와 더 읽을거리

19장. 얽힘 다루기
19.1 얽힘 다루기의 밑그림
19.1.1 3개 사본 얽힘집중 사례
19.1.2 얽힘집중의 밑그림
19.1.3 얽힘희석의 밑그림
19.2 LOCC와 얽힘의 상대 엔트로피
19.3 얽힘 다루기 작업
19.4 얽힘 다루기 정리
19.4.1 역정리
19.4.2 직접 부호화 정리
19.5 맺음말
19.6 역사와 더 읽을거리

6부. 유잡음 양자 섀넌 이론
소개

20장. 고전 통신
20.1 순진한 접근법: 곱 측정
20.2 정보 처리 작업
20.2.1 고전 통신
20.2.2 무작위성 분배
20.3 고전 용량 정리
20.3.1 직접 부호화 정리
20.3.2 역정리
20.4 선로의 사례
20.4.1 얽힘파괴 선로의 고전 용량
20.4.2 양자 아다마르 선로의 고전 용량
20.4.3 양자 삭제 선로의 고전 용량
20.4.4 탈분극화 선로의 고전 용량
20.5 홀레보 정보의 초가법성
20.6 맺음말
20.7 역사와 더 읽을거리

21장. 얽힘보조 고전 통신
21.1 정보 처리 작업
21.2 예비적 사례
21.3 얽힘보조 용량 정리
21.4 직접 부호화 정리
21.5 역정리
21.5.1 되먹임은 용량을 증가시키지 않는다
21.6 선로의 사례
21.6.1 양자 삭제 선로
21.6.2 진폭 감쇠 선로
21.7 맺음말
21.8 역사와 더 읽을거리

22장. 유잡음 자원을 사용한 결맞은 통신
22.1 얽힘보조 양자 통신
22.2 양자 통신
22.3 유잡음 초고밀도 부호화
22.4 상태 전송
22.4.1 양자 상호 정보의 이중적 역할
22.5 절충적 부호화
22.5.1 제한된 얽힘을 갖는 고전 통신
22.5.2 절충적 부호화는 시간 공유를 포함한다
22.5.3 결맞은 정보와 고전 정보 사이의 절충
22.5.4 고전 통신과 얽힘보조 양자 통신 사이의 절충
22.5.5 고전 통신과 양자 통신 사이의 절충
22.6 맺음말
22.7 역사와 더 읽을거리

23장. 비밀 고전 통신
23.1 정보 처리 작업
23.1.1 도청자의 상호 정보
23.2 비밀 고전 용량 정리
23.3 직접 부호화 정리
23.3.1 차원 논증
23.3.2 무작위 부호 구성
23.3.3 비무작위화
23.3.4 불필요한 부분의 삭제
23.4 역정리
23.5 비밀 고전 용량에 대한 논의
23.5.1 비밀 정보의 초가법성
23.5.2 비밀 고전 용량의 초가법성
23.5.3 비밀키 보조 비밀 고전 통신
23.6 역사와 더 읽을거리

24장. 양자 통신
24.1 정보 처리 작업
24.2 복제불가와 양자 통신
24.3 양자 용량 정리
24.4 직접 부호화 정리
24.5 역정리
24.6 양자 안정자 부호
24.6.1 큐비트 반복 부호
24.6.2 안정자 부호
24.6.3 해시 한계
24.7 선로 사례
24.7.1 양자 삭제 선로
24.7.2 진폭 감쇠 선로
24.8 양자 용량에 대한 논의
24.8.1 결맞은 정보의 초가법성
24.8.2 양자 용량의 초활성화
24.9 얽힘 증류
24.10 역사와 더 읽을거리

25장. 통신 자원의 절충
25.1 정보 처리 작업
25.2 양자 동적 용량 정리
25.2.1 양자 동적 용량 정리의 특수한 사례
25.3 직접 부호화 정리
25.4 역정리
25.4.1 순수 상태 앙상블이면 충분하다
25.4.2 양자 동적 용량 공식
25.5 선로의 사례
25.5.1 양자 아다마르 선로
25.5.2 결어긋남 선로
25.5.3 양자 삭제 선로
25.5.4 순손실 보손 선로
25.6 역사와 더 읽을거리

26장. 요약과 전망
26.1 단위 통신 규약
26.2 무잡음 양자 섀넌 이론
26.3 유잡음 양자 섀넌 이론
26.4 이 책에서 다루지 않은 통신 규약
26.5 네트워크 양자 섀넌 이론
26.6 앞으로의 발전

부록 A 보충 결과
부록 B 양자물리적 변화의 고유한 선형 확장