수학, 경제의 비밀을 풀다
우리가 그동안 몰랐던 경제 속 수학 이야기

‘경제학’과 ‘수학’이 전문가의 전유물이 아니라,
일상 속에서 경제적 사고와 수학적 사고가 만나는 순간 앎의 기쁨을 누리고
문제를 해결할 수 있다는 용기를 주는 책이다.
_ 한진수(《청소년을 위한 경제학 에세이》 저자) 추천사 중에서

우리 삶은 온갖 선택의 연속이다. 그중에서도 현명한 경제적 선택은 삶을 꾸리는 데 필수적이다. 예·적금 이자 비교부터, 연말정산 공제액 계산, 투자 정보를 얻기 위한 경제기사 구독까지 경제는 우리 삶의 많은 부분을 좌우한다. 더불어 경제적 자유가 삶의 새로운 목표로 떠오르고, 저금리·저성장의 시대가 계속되는 불확실성의 시대에 문제 해결력을 키워 합리적 선택을 내리는 일이 더욱 중요해졌다. 이 책은 그 방법으로 ‘수학적 사고법’을 제시한다.

학교 수학이 인생에 무슨 도움이 되느냐는 질문은 오래된 만큼 이에 답하는 수학 교양서도 많다. 고등학교 수학 교사인 이 책의 저자 오국환은 2015년 개정 교육과정에서 신설된 〈경제 수학〉을 맡으면서 이 과목이야말로 복잡한 인간 세상을 설명하는 언어로서 수학의 가치를 가장 실감 나게 보여줄 수 있다는 깨달음을 얻었다. 초반에는 수학적으로 새로 가르칠 내용이 없는데 경제적인 맥락을 이해하지 못할 때가 많아 무엇을 가르쳐야 할지 헤매었다. 하지만 우물을 파는 심정으로 하나하나 공부하면서 “수학의 언어로 문제를 해결하는 경험을 제공”해야겠다고 결심하기에 이른다. 이러한 경험을 바탕으로 함수와 그래프를 풀어야 할 문제 유형으로만 외우던 교과의 한계를 넘어 세상을 이해하는 방식으로서 수학적 사고법을 터주겠다는 목표로 책의 집필까지 결심하였다.

적금을 중간에 해지하면 이자율은 어떻게 될까?
과세표준에 따라 내는 세금이 왜 다를까?
소비자의 만족감을 숫자로 표현할 수 있을까?
가게가 성공하면 생산량을 얼마나 늘려야 할까?

총 4장으로 구성된 이 책은 각 장마다 경제를 이해하는 데 길잡이가 될 최소한의 수학적 사고법을 제시한다. ‘변화와 규칙성(수열)’, ‘상대적인 크기(비와 비율)’, ‘모델링(수학적 모형)’, ‘합리적 선택(최적화)’의 관점에서 변화하는 돈의 가치를 계산하는 문제부터 시장 참여자들의 이익을 극대화하는 방법까지 두루 살펴본다. 저자는 수학이 ‘언어’와 같다고 거듭 강조하는데, 이는 곧 문자 언어가 추상적인 관념을 구체화하여 고차원적 소통을 가능케 하듯이, 수학 또한 복잡한 세계를 표현하는 언어로서 직관 너머의 영역을 사고할 수 있게 돕는다는 의미이다. 수학이라는 언어로 때로는 넓게, 때로는 깊게 경제 문제를 탐구하다 보면, 책을 덮을 때 즈음에는 은행 상품을 고르다가도, 할부와 일시불을 고민하면서도, 별점 리뷰를 남기면서도 그 속에 숨은 수학적 사고를 발견하고 문제를 스스로 해결해나갈 수 있다는 용기를 얻어갈 수 있을 것이다.

책 속에서

돈의 가치 변화를 고려하여 합리적 의사결정을 내리려면 단순히 ‘돈이 불어나는구나’ 하는 정도의 추상적인 이해를 넘어설 필요가 있습니다. 즉, 돈의 가치가 어떤 식으로 증가하거나 감소하는지, 시기에 따라 돈의 가치는 어떻게 변하는지, 원금의 크기는 이자에 어떤 영향을 미치는지 등을 구체적으로 생각할 수 있어야 한다는 말입니다. 가장 먼저 이해해야 할 것은 바로 ‘이자’입니다. 원금의 크기나 돈을 빌리는 기간에 따른 이자가 돈의 가치를 변화시키기 때문입니다.
---「1. - 이자 : 돈이 돈을 버는 원리를 찾아서」중에서

이 함수는 실제로 돈을 2배로 불리는 기간과 72의 법칙으로 예측한 기간의 차이를 의미합니다. 의 그래프로 나타내면 아래와 같습니다. 그래프를 통해 알 수 있듯, 이 함수는 정도의 값을 가질 때 오차가 가장 적게 나타납니다. 8% 정도의 수익률을 가질 때 72의 법칙이 가장 잘 적용된다는 뜻이지요.
---「1. - 경제 리터러시 : ‘72의 법칙’은 얼마나 실현 가능할까?」중에서

현재가치를 기준으로 계산할 때 갚아야 할 금액은 원금 그대로입니다. 현재, 즉 지금을 기준으로 계산하게 때문에 대출금에 아직 이자가 붙지 않았다고 생각하면 됩니다. 대신 월 상환액을 원이라고 하면, 각각의 원에는 할인율을 적용해야 하겠지요. 한 달 후에 내가 낼 원의 가치는 현재 원보다 작을 테니까요. 당연히 먼 미래에 낼 원일수록 할인율을 적용하여 그 값이 작아집니다. 그러므로 현재가치를 기준으로 계산할 때는 각각의 월 상환금에 할인율을 적용하여 이를 모두 합한 값이 현재의 대출금과 같도록 계산하면 됩니다.
---「1. - 대출과 할부 : 한 달에 얼마씩 내놓으려고요?」중에서

이러한 문제를 해결하기 어려운 근본적인 이유는 문제에 ‘무한’의 개념이 포함되어 있기 때문입니다. 직관으로는 쉽게 해결하기 어려운 부분이 문제에 포함되어 있다는 말이지요. 이를 해결하는 방법으로 무한등비급수 문제의 풀이에서는 문제를 직관이 닿을 수 있는 부분으로 끌고 옵니다. 즉, 무수히 많은 항의 합을 구해야 하는 본래의 문제를 항까지의 합을 구하는 문제로 일단 바꾸고, 무한을 상상하기 쉬운 형태()로 만든 후 이 무한히 크면 어떤 값이 될지를 상상한다는 말이지요. 이는 곧 전체를 생각하기 어려울 때 문제를 축소하여 풀어본 뒤, 그 결과를 이용해 원래의 문제를 해결하는 아이디어이기도 합니다.
---「1. - 연금 : ‘가늘고 길게’와 ‘굵고 짧게’의 차이」중에서

이렇게 계산한 GDP는 한 나라의 생산 능력을 정확하게 나타내는 데 한계가 있습니다. GDP 계산에는 생산량과 가격이 변수로 작용하는데, 상품의 가격이 바뀌면 생산량에 변화가 없더라도 GDP가 변화하기 때문입니다. 그래서 GDP는 명목 GDP와 실질 GDP로 구분합니다. 명목 GDP는 당해 연도의 생산량에 당해 연도의 가격을 곱해서 구하고, 실질 GDP는 당해 연도의 생산량에 기준 연도의 가격을 곱해서 구합니다. 물가 변동의 영향을 제거하므로, 생산 능력의 변화를 정확하게 파악할 수 있겠지요.
---「2. - 경제지수 : 오르락내리락 숫자로 읽는 경제」중에서

소득세에는 누진세율을 적용해야 합니다. 만약 모든 사람에게 같은 금액의 소득세를 부과한다면 소득이 낮은 사람에게는 상대적으로 조세 부담이 커질 거예요. ( ··· ) 우리나라에서는 아래 표와 같이 과세표준에 구간을 두어 구간에 따라 차등적으로 세율을 적용합니다.

누진세를 적용하는 방법은 단순 누진세율과 초과 누진세율이 있습니다. 단순 누진세율은 높은 과세표준에 따라 높은 세율을 일괄적으로 적용하는 방법이고, 초과 누진세율은 과세표준의 구간을 나누어 초과 금액에 대해서만 해당 구간의 세율을 각각 적용하여 더하는 방법입니다.
---「2. - 세금 : 피할 수 없다면 알고 활용하기」중에서

사실 우리는 복잡한 경제지표가 사용된 기사도 대략적으로는 의미를 파악할 수 있습니다. 글에서 사용된 어휘나 글의 뉘앙스를 살펴보면 경제가 위기인지 호황인지 정도는 보이니까요. 문제는 용어의 의미를 명확히 알지 못하면 글에서 그 이상의 정보를 파악하거나 비판적으로 해석하기가 어렵다는 겁니다. 가령 환율이 올라가서 경제가 위험하다는 식으로 기사가 나오는데, 애초에 환율이 어떤 원리로 오르내리는지 모른다면 이 경제 위험이 어떤 식으로 구체화되어 나에게 다가올지 생각할 수 없겠죠.
---「2. - 줌인과 줌아웃으로 경제를 들여다보는 이유」중에서

주목할 부분은 같은 현상을 설명하더라도 가정이 달라지면 서로 다른 수학적 모형이나 접근 방식이 생긴다는 점입니다. 한계효용이론이나 무차별곡선이나 결국 설명하려는 것은 소비자가 상품이나 재화를 소비할 때의 행동입니다. 이를 위해 한계효용이론은 효용을 수치화할수 있다고 가정했고, 무차별곡선은 효용의 순서만을 매길 수 있다고 가정했어요.

여기서 하나의 이론화된 수학적 모형을 접할 때, 개에 담긴 가정이 무엇인지 염두에 두어야 한다는 점을 생각해볼 수 있을 것 같습니다. 앞의 사례처럼, 수학적 모형은 어떤 가정을 바탕으로 어떤 변수를 어떻게 통제하느냐에 따라 서로 다른 모습으로 나타나니까요.
---「3. - 효용함수 : 소비자의 만족감을 수치로 표현할 수 있을까?」중에서

생산량은 노동량을 늘린다고 해서 정비례하게 늘어나지 않습니다. 도넛 가게에서 직원을 계속 늘리다 보면 초반에는 생산량이 늘어나겠지만 가면 갈수록 가게가 복잡해져 오히려 효용이 떨어지겠지요. 이를 ‘수확체감의 법칙’이라고 부릅니다. 한편으로는 직원을 계속 채용하다 보며, 인건비를 비롯한 여러 비용이 급격히 불어납니다. 생산량은 점차 변화가 줄어드는데 비용만 늘어나니 생산자 입장에선 별로 속이 좋지 않겠죠. 결국 생산자는 직원을 적당한 수로 유지하면서 이윤을 최대로 만드는 생산량과 비용의 균형을 찾기 위해 노력할 것입니다.
---「3. - 생산과 비용 : 생산자는 얼마나, 얼마에 만들어야 할까?」중에서

풍년이 들면 공급곡선이 오른쪽으로 이동하면서 가격은 떨어지고 거래량은 증가합니다. 그런데 농산물의 경우 수요곡선이 비탄력적이기 때문에, 가격이 많이 떨어지는 데 비해 거래량 증가는 크지 않아요. 그러니 결국 가격과 생산량의 곱으로 계산되는 총수입은 줄어듭니다. 반면 흉년이 들면 공급곡선이 왼쪽으로 이동하면서 가격이 올라가고 거래량이 떨어집니다. 하지만 가격이 많이 올라가는 데 비해 거래량은 크게 떨어지지 않지요. 이 경우 결국 총수입은 예전보다 증가합니다. 이러한 원리 때문에 풍년이 들면 총수입이 낮아지고 흉년이 들면 총수입이 높아지는 농부의 역설 현상이 나타나는 것입니다.
---「3. - 경제 리터러시 : 많이 수확하면 무조건 좋을까? 농부의 역설」중에서

일반적으로 소비자가 여러 재화를 소비하는 경우, 각 재화의 1원에 따른 한계효용이 같아지도록 소비할 때 효용은 최대가 됩니다. 이를 한계효용균등의 법칙이라고 합니다. 흔히 뷔페에 갔을 때의 상황으로 이 법칙을 설명하는데요. 뷔페에 가서 스테이크가 좋다고 계속 스테이크만 먹으면 곧 물리죠. 스테이크의 한계효용이 떨어졌기 때문입니다. 이때 고집을 부리며 스테이크로만 배를 채우고 식당을 떠나려면 뭔가 아쉬움이 남겠죠? 먹지 못한 디저트가 눈에 아른거린 채로 식당을 떠난다면 식사 만족도가 높지 않을 겁니다. 그러니 스테이크가 물릴 때는 이보다 한계효용이 높은 음식, 새로운 음식을 찾아 먹어야 전체적인 효용이 높아집니다. 이렇게 반복해서 새로운 음식을 먹다 보면 결국 뭘 먹더라도 효용이 높아지지 않는 순간이 옵니다. 이제 뭘 더 먹어야겠다는 아쉬움이 없는 상황이죠. 만족도가 최대가 되었으니, 식당을 기분 좋게 떠나면 되겠지요?
---「4. - 효용 극대화 : 미분으로 설명하는 “기왕이면 다홍치마”」중에서