미분적분은 ‘적분’에서 시작하는 스토리로 배우자!

미적분Ⅰ은 이 한 권으로 완벽!

이 책은 미분적분을 좀더 쉽게 이해할 수 있도록 구성되어 있다. 바로 ‘적분’에서 ‘미분’의 순서로 이해의 폭을 넓혀가는 스토리를 선택한 것이다. 이유는 매우 단순하다. 그것은 적분이라는 발상이 먼저 탄생하고, 이어서 미분이 생겨났기 때문이다. 이 책에서는 추상적인 수식이나 이론의 나열이 아닌, 떠올리기 쉬운 구체적인 스토리나 친근한 문제로부터 출발해서 조금씩 본질에 다가가는 것을 목표로 한다. 지금까지 미분적분에 대해 부담이나 벽을 느끼셨던 분이야말로 이 책이 꼭 필요할 것이다.

공식 통암기는 전혀 없다!

학교와는 다르게 적분→미분으로 배운다

왜 많은 사람이 미분적분을 ‘어렵다’고 느끼는 것일까? 물론 미분적분은 이해하기 쉬운 내용이 아니다. 그러나 수학의 다른 단원에 비해 감당하지 못할 정도냐고 묻는다면 그렇지도 않다. 사실, ‘일반적으로 학교에서 가르치는 교육 방식’도 미분적분 학습을 한층 어렵게 만드는 하나의 원인이다. 보통 학교 수업에서는 미분을 배운 뒤에 적분에 들어가는데, 실은 적분을 먼저 배우는 편이 훨씬 이해하기 쉽다. 이유는 매우 단순하다. 그것은 적분이라는 발상이 먼저 탄생하고, 이어서 미분이 생겨났기 때문이다. 그래서 이 책에서는 ‘적분’에서 ‘미분’의 순서로 이해의 폭을 넓혀가는 스토리를 선택했다.

적분이라는 발상은 고대 이집트에 그 뿌리를 두고 있으며, 나일강의 범람 이후 토지의 넓이를 정확하게 다시 측정하기 위해 생겨난 문제 해결 방법이다. 예를 들어, 곡선으로 둘러싸인 ‘구불구불한 토지’의 넓이를 구하려면 단순히 ‘가로×세로’로는 해결할 수 없다. 여기서 등장한 것이 넓이를 잘게 분할한 뒤, 그것을 모두 합해 정확한 값을 구하는 적분이라는 방식이다. 이 ‘잘게 나눈다’는 발상에는 ‘극한’이라는 개념이 관련이 있지만, 먼저 적분을 통해 이러한 원리를 배우는 편이 추상적인 내용을 이해하기 쉽다. 그러니 미분을 먼저 배우면 적분에 이르는 과정에서 많은 학생이 벽에 부딪히고 만다. 그래서 이 책은 ‘적분을 먼저 배우고 필요할 때마다 미분의 지식을 보충하는’ 방식을 채택했다. 예를 들면, 적분을 다루는 앞부분에서 미분의 중요한 개념인 ‘극한’을 알기 쉽게 소개한다. 이로써 ‘왜 지금 이 개념을 알아야 하는지’를 납득하고 차근차근 이해의 폭을 넓혀갈 수 있다.

미분과 적분은 대립하는 개념이 아니다. 오히려 하나의 운동이 지닌 양면이 서로 어우러진 것이다. 변화가 쌓이고, 그것이 다시 변화를 만들어낸다. 세상은 끊임없이 이어지고, 우리는 그 연속되는 세상 속에서 살고 있다. 미분적분은 그 ‘연속’을 이해하기 위한 언어다. 공식이나 기호는 이해를 위한 도구일 따름이다. 중요한 것은 눈앞의 현상을 끊어진 단편이 아닌, 이어지는 흐름으로 바라보는 힘이다.

미분적분은 현대사회를 뒷받침하는 중요한 도구 중 하나다. 만약 미분적분이 발견되지 않았다면, 우리는 비행기를 타고 여행할 수도, 일기예보를 볼 수도, 의료 기기의 도움으로 질병을 찾아낼 수도 없는, 지금과는 전혀 다른 생활을 해야만 했을 것이다. 고도로 발달한 현대사회를 든든히 받쳐 주는 인류의 지혜가 바로 미분적분이다. 그 미분적분을 이 책을 통해 좀더 깊이 이해할 수 있을 것이다.

들어가며 미분적분은 ‘적분’에서 시작하는 스토리로 배우자!

Homeroom ① 왜 학교 수업에서는 미분적분 때문에 좌절하는가?

Homeroom ② 미분적분은 ‘적분’→‘미분’의 스토리로 배우자!

Homeroom ③ 적분에 필요한 미분 지식은 ‘필요할 때’ 설명

제1장 미분과 적분은 ‘형제’

적분과 미분이란? 적분은 ‘전체를 파악하는 형’ 미분은 ‘세부를 꿰뚫어 보는 동생’

적분의 역사 ‘적분’의 개념은 기원전에 탄생했다

알기 쉬운 적분 적분은 ‘눈에 보이므로 이해하기 쉽다’

제2장 적분이란 무엇인가?

적분과 넓이 우선 넓이를 살펴보자

넓이를 구하는 방법 다양한 형태의 넓이를 구하는 방법을 떠올려보자

공식으로 구할 수 없는 넓이 복잡한 도형의 넓이는 어떻게 구할까?

제3장 식으로 적분 이해하기

적분이란 무엇인가? 적분이 무엇인지 구체적으로 이해한다

적분의 식 넓이(적분)를 식의 형태로 써보자

적분 기호 적분 기호 ∫(인티그럴)이란 무엇인가?

적분의 한계 넓이를 정확하게 구하려면 미분의 발견을 기다릴 수밖에 없었다

제4장 감각적으로 미분 이해하기

미분의 엄밀성 적분만으로는 구할 수 없었던 ‘엄밀성’

미분의 전체상 일단 미분의 전체상을 살펴보자

제5장 간단한 미분 계산해보기

미분의 본질 미분의 본질을 살펴보자

접선의 기울기 미분하면 ‘변화의 비율’을 알 수 있다=이것이 ‘접선의 기울기’

미분계수 미분계수를 알면 어떤 점이 좋은가?

도함수 미분계수를 구하기 위해 존재하는 함수=도함수

‘미분’과 ‘미분하다’ ‘미분’과 ‘미분하다’는 의미가 전혀 다르다

기초적인 도함수 기초적인 도함수를 정의로부터 살펴보자

y = xⁿ의 도함수 y＝xⁿ의 도함수를 어떻게 구할까

Column 이항정리란?

미분의 본질 ‘미세하게 나누어서 보는 것’이 미분의 본질

제6장 적분을 식으로 살펴보기

적분의 계산이란? 적분은 실제로 계산할 수 있나?

역연산과 원시 함수 적분과 미분의 관계

정적분과 부정적분 정적분과 부정적분의 차이

넓이와 정적분 넓이는 정적분으로 구한다

넓이를 적분으로 구하기 다양한 넓이를 적분으로 구해보자

적분의 기본 공식 적분의 기본 공식과 선형성에 대하여

부피를 구하는 방법 적분으로 부피도 구할 수 있다

적분의 본질 적분이란 ‘잘게 나눈 것을 차곡차곡 모으는’ 것

제7장 우리 곁에 있는 적분

생활 속의 적분 적분은 일상생활 속에서 활약하고 있다

전기 요금 계산과 적분 전기 요금 계산은 ‘전력의 적분’

운동 해석 스마트폰과 게임기에서 가속도로 속도와 위치를 구한다

벚꽃의 개화 예측과 적분 벚꽃의 개화는 ‘기온의 적분’으로 예측한다

비행기의 개발과 적분 비행기가 날 수 있는 것도 미분과 적분이 있기 때문

제8장 우리 곁에 있는 미분

생활 속의 미분 일상생활 속 다양한 곳에서 활약하는 미분

예측식 체온계와 미분 30초 만에 체온을 측정할 수 있는 전자 체온계의 비밀

오토포커스 기능과 미분 디지털카메라의 오토포커스 기능도 미분 덕분

경제와 미분 주가·환율의 경향 분석과 미분의 관계

AI와 미분 AI 학습의 ‘경사하강법’도 미분이 바탕

일기예보와 미분 내일의 날씨 예보가 가능한 이유는 미분 덕분

마치며

참고문헌