출판사 서평
이 책은 1982년 처음 출간된 이후 여러 나라에서 꾸준히 인기를 끌고 있다. 30년이 지난 지금에도 많은 독자들이 이 책을 찾아 읽는 것은 어느 독자든 손에 잡는 순간 그냥 읽고 넘어가지 않고 깊게 생각하면서 문제 해결에 뛰어들게 하는 마력이 있기 때문이다. 각 장마다 당장 해결하고 싶은 문제가 빼곡하다. 저자들이 문제에서 강조하는 것을 이해하고 경험하기 위해서는 덤벼들어야 한다. 스도쿠를 하듯, 퍼즐을 맞추듯 연필을 잡고 직접 종이에 해결 과정을 써내려가야 한다.
이 책은 개정판으로 초판에 제11, 12장을 새로 추가했다. ...
이 책은 1982년 처음 출간된 이후 여러 나라에서 꾸준히 인기를 끌고 있다. 30년이 지난 지금에도 많은 독자들이 이 책을 찾아 읽는 것은 어느 독자든 손에 잡는 순간 그냥 읽고 넘어가지 않고 깊게 생각하면서 문제 해결에 뛰어들게 하는 마력이 있기 때문이다. 각 장마다 당장 해결하고 싶은 문제가 빼곡하다. 저자들이 문제에서 강조하는 것을 이해하고 경험하기 위해서는 덤벼들어야 한다. 스도쿠를 하듯, 퍼즐을 맞추듯 연필을 잡고 직접 종이에 해결 과정을 써내려가야 한다.
이 책은 개정판으로 초판에 제11, 12장을 새로 추가했다. 초판에서는 다양한 수학적 사고 과정을 설명하고 누구나 타고난 수학적 사고력의 활용 방법을 알려주기 위해서 문제를 선별했다면, 제11장에서는 타고난 사고력을 통해 중요한 수학적 주제의 핵심 아이디어를 풍부하게 하고 심화할 목적으로 문제를 선별했다.
수학, 더 이상 증오하지 마라!
국제수학올림피아드(IMO)에서 우리나라는 최근 5년간 3~4위를 꾸준히 차지했다. 이 대회에는 해마다 100여개 국가가 참여하므로 우리나라는 상위 5%안에 드는 그야말로 수학 강국이다. 그런데 왜 고교 전국모의고사를 보면 평균점수가 30점대일까? 100점 만점에 30점이라는 것은 그야말로 ‘찍어서’ 나오는 점수와 가깝다.
이유는 간단하다. 과학고 등 상위 1%안에 드는 친구들을 제외하고 나머지 99%의 학생들이 수학을 끔찍하게 싫어하기 때문이다. 그럼 그들은 어째서 수학을 그토록 증오하게 되었을까?
유치원생부터 구구단을 외우고 사칙연산을 해내던, 초등학교 때에는 선행학습을 통하여 이미 중학교 과정을 마친, 중학교를 다니며 ‘수학의 정석’을 풀었던 그 많은 학생들이 고등학교에선 수업시간에 졸기만 하고 시험을 보면 허공만 바라본다. 10년이 넘는 동안 수학을 단순 계산만을 위한 것으로 생각했다면 수학이 너무나 싫은 것은 당연한 것이다.
이 책은 기초적인 문제조차 손도 대지 못하고 헤매는, 그래프나 그림을 이용한 문제 해결에 서툴거나 과정을 꼼꼼히 정리하지 않는 학생들에게 수학적 사고력의 기초가 왜 중요한 지를 일깨워준다.
대단히 어려운 문제를 만나 돌파구를 찾지 못한 채 제자리에서 빙빙 돌다보면 누구나 좌절감에 빠진다. 열이면 열 이제 그만 포기하고 싶다는 충동에 휩싸이고 만다. 하지만 이 책을 접한 독자라면 그러지 않을 것이다. 문제 해결 과정에서 암초를 만나 옴짝달싹 못하는 것을 오히려 다행으로 여긴다. 긴장을 풀고 한껏 즐기면서 하나씩 배워나갈 기회로 생각하는 것이다.
재미없으면 수학이 아니다!
수학은 재미있다. 정말이다. 그런데 전제가 있다.
저자들은 레프 비고츠키(Lev Vygotsky)의 ‘경험의 의미를 이해하려면 경험이 더 풍부한 사람의 도움을 받거나 아니면 일정한 시간을 들여야 한다.’와 칼렙 가테뇨(Caleb Gattegno)의 ‘정신이 무엇을 망각해야 할지, 혹은 무엇을 기억해야 할지를 선택하는 잠자는 시간에 학습이 이루어진다.’는 주장을 인용함으로써 수학이 재밌기 위해서는 기본적인 수학 지식이 필요함을 강조하고 있다.
당연한 것 아닌가! 재미있는 소설이든 훌륭한 그림이든 읽고 보는 이의 교양이 전혀 없다면 한낱 지루한 기호일 테니 말이다.
이 책 어디에도 해답이 없다!
이 책은 주변에서 흔히 보이는 흥미로운 문제를 어떻게 해결해 나가는지 그 과정을 상세하면서도 쉽고 효과적으로 알려준다. 하지만 해답은 없다. 왜냐면 서울에서 부산까지 가는 길은 수십 가지 방법이 있을 수 있기 때문이다.
이 책의 목적은 학생이 문제 해결 과정에서 암초를 만나면 깊게 생각하게 만드는 것, 그리고 아무리 발버둥을 쳐도 문제가 해결되지 않으면 그 과정을 처음부터 다시 시작하게 만드는 것이라고 할 수 있다. ‘해답’을 구하는 게 꼭 바람직한 결과를 낳는 것은 아니라고 본다. 그보다 더 중요하고 가치 있는 것은 암초를 만나도 한 걸음씩 차분하게 나가면서 가설을 세우고 수정하는 가운데 타고난 수학적 사고력을 충분히 활용하고 어떤 수학적 주제에 해당하는지 깨닫는 일이다. 만약 타고난 수학적 사고력을 활용하고 착실하게 전진하는 과정에서 통찰력을 얻어 짜릿한 흥분과 전율을 맛본다면 금상첨화일 것이다. 문제를 주도적으로 해결해나가는 게 의미가 있는 것이지 수학적 결과만 구하는 것은 별 의미가 없다는 말이다. 다시 말해서 이 책은 특정한 수학적 내용을 가르치려는 데 목적이 있지 않다. 독자 스스로 수학의 주제와 다양한 수학적 상황을 탐구하고 이해하는 가운데 타고난 수학적 사고력을 강화하도록 하는 데 목적이 있다.
수학적 사고 어떻게 기르는가?
낯선 문제를 만나면 어디서부터 손을 대야 할지 감을 잡지 못하고 물음표만 찍은 채 결국에는 포기하는 경우가 있었을 것이다. 그렇다면 반드시 이 책을 읽고 구체화와 일반화 기법을 익혀라. “구체적인 사례로 시작하라”, “그림을 그려보라” 등의 말은 어찌 보면 지극히 당연한 것일 수 있으나 실천에 옮기기가 쉽지 않다. 이 책에 담긴 문제를 직접 해결하려고 노력한다면(소설책을 읽듯이 휙휙 넘기지 마라. 반드시 연필을 들고 덤벼들어보라), 수학적 사고가 자신도 모르게 길러지게 된다는 것을 깨닫게 될 것이다.
이 책에서 저자들은 수학적 사고는 문제를 많이 해결한다고 해서 향상되지 않는다고 말한다. 문제와 제대로 씨름하고 그 해결 과정을 꼼꼼하게 검토할 때 향상된다고 한다. 또한 중요한 것은 어떤 영역에서든 문제에 접근한 경험을 풍부하게 쌓아나가 비슷한 문제에 맞닥뜨렸을 때 쉽게 해결하는 것, 그리고 문제 해결에 성공했다면 왜 그럴 수 있었는지 되새김질하는 것이라고 강조하고 있다.
* 수학을 공부하는 모든 학생은 이 책을 꼭 읽어야 한다.
- 제임스 블로위(던햄대학교 수학과 교수)
* 에서 마주친 각종 개념은 내가 학생을 가르치는 방식에 꾸준히 영향을 미치고 있다.
- 데이비드 J. 레이스(메이누스 아일랜드 국립대학교 수학과 교수)
* 이 책 덕분에 나는 수학이란 지겹고 무관심한 것에서 기쁨을 안겨주는 것으로 바꿀 수 있었다.
- 니콜라 클라크(옥스퍼드 대학교 수학과 교수)
* 는 내가 언제나 즐겨 읽었던 책 중의 하나이다. 내용을 보완하고 늘린 제2판 역시 나의 책꽂이와 여러분 모두의 책꽂이에 꽂혀 있어야 마땅한 책이다.
- 앨런 숀펠드(캘리포니아 대학교 버클리 캠퍼스 수학교육과 교수)

목차
독자를 위하여
제2판 서문
Chapter 1 누구나 시작할 수 있다
구체화
도매상
종이 접기
회문 숫자
일반화
수학적 경험을 기록하는 기법
색칠하기
체스판의 정사각형
검토와 예습
Chapter 2 문제 해결 과정의 각 단계
진입단계
매어있는 염소
진입 1 : 내가 아는 것은?
아가씨들의 점심
진입 2 : 내가 원하는 것은?
봉투
진입 3 : 무엇을 도입할 수 있는가?
큐브
토스트
진입단계의 요약
공격단계
검토단계
검토 1 : 해결 과정을 체크하라
검토 2 : 중심 아이디어와 중심 포인트에 대한 반성
검토 3 : 다양한 상황으로 확장
체스판의 직사각형
검토의 실행
기어 다니는 것
검토단계 요약
세 가지 단계의 요약
Chapter 3 암초에 대응하기
암초에 부딪히다
실 걸기
뛰어 넘기
요 약
Chapter 4 가설 만들기
가설 만들기란?
골드바흐의 가설
바퀴 자국
가구
가설 : 문제 해결의 중심 축
연속수의 합
가설은 어떻게 해서 생겨나는가?
제곱의 차
15
패턴의 발견
원과 점
요 약
Chapter 5 공격 : 입증과 설득
구 조
반복
성냥개비 1
성냥개비 2
구조적 연결고리 찾기
꿀벌의 가계도
정사각형 분할
가설은 언제 입증되는가?
내면의 적을 개발하라
알았다
숨은 가정
요 약
Chapter 6 아직도 암초?
문제의 핵심 추출
잘라내기
다시 일반화와 구체화
숨은 가정
9개의 점
참, 거짓
다면체
요 약
Chapter 7 내면의 모니터의 개발
내면의 모니터의 역할
문제 해결의 감각
시작 단계
몰입 단계
문제의 변환
계속 진행 여부의 판단
통찰력
비판
성찰
요 약
Chapter 8 언제나 무언가를 묻는 자세 기르기
다양한 물음
시소
나선형 수
종이 밴드
주의를 기울이기
언제나 무언가를 묻는 자세를 기르는 데 장애가 되는 것
요약
Chapter 9 수학적 사고의 개발
어떻게 수학적 사고를 향상시킬 것인가
무엇이 수학적 사고를 불러일으키는가
무엇이 수학적 사고를 뒷받침하는가
수학적 사고는 무엇에 기여하는가
요약
Chapter 10 생각해 볼 문제들
Chapter 11 교과 과정의 주제를 놓고 수학적으로 사고하기
Chapter 12 ‘수학적으로 사고하기’와 관련하여 못 다한 이야기