원자핵에서 물리학, 예술, 법, 우주에 이르기까지
삼라만상을 움직이는 숫자 소수의 비밀을 밝힌다!

무한대로 존재하는 수(數) 중에서 가장 기본적인 숫자. 모든 수를 통틀어 가장 매혹적이고 신비로운 숫자. 바로 소수다! 소수는 수학을 좋아하는 사람은 물론이고 수학을 싫어하는 사람조차 단번에 빠져들게 할 만큼 매력적인 숫자다. 그래서인지 일부 수학자들은 ‘가장 큰 소수’를 찾는 일에 자신의 한평생을 바치기도 한다.

‘과학을 쉽고 재미있게 소개하는 저술가’로 일본은 물론이고 국내에도 적지 않은 팬을 확보한 이 책의 저자 다케우치 가오루는 소립자가 물질과 우주를 이루는 가장 작은 단위이자 핵심 입자이듯 ‘수’라는 우주에서 소수는 가장 기본적인 숫자이자 매혹적이고 신비로운 숫자라고 이야기한다.
사람의 마음을 강하게 잡아끌고 매혹하는 소수의 힘은 어디서 비롯될까? 가장 작은 물질 단위인 소립자와 원자핵에서 가장 큰 단위인 지구와 우주까지, 매미의 생태에서 컴퓨터와 인터넷과 암호, 상대성이론과 초끈이론을 망라하는 물리학의 세계, 예술과 법에 이르기까지 소수는 삼라만상에 숨어 우주의 생성과 작동에 은밀히 참여한다는 점에서 찾을 수 있다. 그런 터라, 수학자들은 물론이고 과학자들도 소수의 성질을 좀 더 명확히, 제대로 이해하기 위해 많은 시간을 들여 연구에 매진한다. 
이 책을 읽다 보면 당신은 자신도 모르게 소수의 매력에 흠뻑 빠져들게 될 것이다.

사람을 유혹하고 세상을 움직이는 숫자
소수의 비밀을 밝힌다!

‘과학을 쉽고 재미있게 소개하는 저술가’로 일본은 물론이고 국내에도 적지 않은 팬을 확보한 저자 다케우치 가오루의 신간 도서가 사람과나무사이에서 번역 출간되었다. 이번에는 과학이 아닌 수학. 그중에서도 ‘소수’다! 책 제목은 『소수는 어떻게 사람을 매혹하는가?』다.
이 책의 저자 다케우치 가오루는 소립자가 물질과 우주를 이루는 가장 작은 단위이자 핵심 입자이듯 ‘수(數)’라는 우주에서 소수는 가장 기본적인 숫자이자 매혹적이고 신비로운 숫자라고 이야기한다. 실제로 소수는 수학을 좋아하는 사람은 물론이고 수학을 싫어하는 사람조차 단번에 빠져들게 할 만큼 매력적인 숫자다. 그래서인지 어떤 수학자들은 ‘가장 큰 소수’를 찾는 일에 오랜 시간을 아낌없이 투자하기도 한다. 프랑스 수학자 에두아르 뤼카(Francois Edouard Anatole Lucas, 1842~1891)도 그런 사람 중 하나였다. 그는 열다섯 살 때 ‘2의 127제곱 빼기 1’이 소수인지 아닌지를 증명하기 위해 손 계산 연구에 몰두하기 시작했고, 19년을 쏟아부은 후 마침내 그 수가 소수임을 증명해 냈다. 39자리의 170141183460469231731687303715884105727이라는 숫자였다. 이 수는 그 후 76년 동안 ‘인류가 발견한 최대 소수’의 자리를 굳건히 지켰다.

“물리학자들이 우주를 기술하는 방정식을 연구하다 보면 소수가 ‘까꿍’ 하고 얼굴을 내미는 순간이 있다. 학자들은 ‘도대체 이 녀석이 어디서 튀어나왔을까?’ 하며 소수의 깜짝 등장에 고개를 갸웃거린다. 이렇듯 사람을 매혹하는 숫자 소수는 우주의 생성과 작동에도 은밀히 참여하는 놀랍고 신비한 숫자다!”
- 본문 중에서

사람의 마음을 강하게 잡아끌고 매혹하는 소수의 힘은 어디서 비롯될까? 가장 작은 물질 단위인 소립자와 원자핵에서 가장 큰 단위인 지구와 우주까지, 매미의 생태에서 컴퓨터와 인터넷과 암호, 상대성이론과 초끈이론을 망라하는 물리학의 세계, 예술과 법에 이르기까지 소수는 삼라만상에 숨어 우주의 생성과 작동에 은밀히 참여한다는 점에서 찾을 수 있다. 그런 터라, 수학자들은 물론이고 과학자들도 소수의 성질을 좀 더 명확히, 제대로 이해하기 위해 많은 시간을 들여 연구에 매진한다.
『소수는 어떻게 사람을 매혹하는가?』는 소립자와 원자핵에서 지구와 우주까지, 매미의 생태에서 컴퓨터와 인터넷과 암호, 상대성이론과 초끈이론을 망라하는 물리학의 세계, 예술과 법에 이르기까지 세상 거의 모든 것에 진주조개 속 진주처럼 숨어 있는 ‘소수’와 ‘소수의 법칙’을 명쾌하게 밝혀내는 책이다. 이 책을 읽다 보면 독자는 자신도 모르게 소수의 매력에 흠뻑 빠져들게 될 것이다.

소수에 관한 몇 가지 근원적 질문과 답변들

이 매미에 관해 가장 주목할 만한 특징은 소수를 영리하게 이용하며 살아간다는 점이다. 이렇게 말하면, ‘매미가 소수를 이용하며 산다고?’ 하며 놀라는 독자가 많을 것이다. 그러면서 그들은 ‘매미가 학교를 다닐 리도 없고 수학을 배웠을 리도 없는데, 어떻게 소수를 이용하며 산다는 걸까?’ 하는 의문을 품게 될지도 모르겠다.
(중략)
종족 보존을 위해 매미들이 취한 수단이 바로 일정한 주기마다 대량으로 발생하는 방법이었다. 인해 전술, 아니 ‘충해 전술’인 셈이다.
생물학자들에 따르면 과거에는 12년 매미, 14년 매미, 15년 매미, 16년 매미, 18년 매미 등 다양한 종의 매미가 서식했다고 한다. 그중 화석이 남아 있는 종도 있으므로 이는 확실히 믿을 만한 사실이다. 그건 그렇고, 그 매미들은 왜 멸종하고 말았을까?
가장 큰 원인은 ‘교잡’ 때문이다. 먼저, 짝수 해에 태어난 매미는 홀수 해에 태어난 매미에 비해 훨씬 불리할 수밖에 없다. 12년 매미와 8년 매미를 예로 들어 생각해 보자. 12년 매미와 8년 매미가 있다면 12와 8의 최소공배수가 24이므로 24년마다 발생 시기가 겹치고 교잡이 발생하기 때문이다. 가령 12년 매미만 자손을 만든다면 주기는 유전으로 전해지지만, 아비와 어미가 8년과 12년이라면 그 종이 발생하는 주기는 ‘뒤섞여’ 엉망진창이 되어 버린다.
정해진 해에 집중적으로 대량 발생하는 것이 매미의 생존 전략이다. 한데 교잡이 일어나면 심각한 문제가 발생한다. 번데기에서 허물을 벗고 성충이 되는 해가 뒤죽박죽되어 대량 발생이 아닌 소량 발생이 되어 다 된 밥에 코를 빠뜨리는 격이 되고 죽도 밥도 안 되는 거다. 차츰 수가 줄어들다가 마침내 멸종의 길로 들어서게 된다.
여기서 ‘소수’의 성질이 효력을 발휘한다. 소수인 7과 (소수가 아닌) 12를 예로 들어 보자. 두 숫자의 최소공배수는 7 곱하기 12인 84다. 그러므로 84년이 지나기 전에는 두 종의 매미가 동시 발생할 가능성이 전혀 없다는 계산이 나온다. 앞에서 살펴본 8과 12의 최소공배수는 (8×12=96이 아니라) 24였다. 8과 12에는 4라는 공약수가 있으므로 최소공배수가 훨씬 작아진다. 그에 반해 소수는 다른 수와 공통의 약수를 갖지 않아 최소공배수가 커지고 자연스럽게 동시 발생하는 간격도 엄청나게 벌어진다. 이런 이유로 13년과 17년 종만 순수 혈통을 보존해 항상 대량 발생하므로 효율적으로 살아남을 수 있었다는 것이 많은 연구자의 공통된 인식이다.
― 본문 중에서 (21~26p.)

언론의 자유, 아니 소스 코드의 자유가 침해당했다며 위기감을 느낀 컴퓨터 과학자들은 대중의 관심을 불러 모으기 위해 위법한 소스 코드의 숫자를 소수로 만든다는 기발한 발상을 했다. 체포되어 투옥되는 숫자가 단순한 숫자이기보다는 수학 세계에서 유명인이라 할 수 있는 ‘소수’인 편이 사회적으로 파장이 크다는 생각에서였다.
미국 테네시 대학교 마틴 캠퍼스가 소수 데이터베이스를 관리한다. 그러므로 DVD 복제 프로그램에 대응하는 숫자가 이 데이터베이스에 등재되어 있는 소수라면 학술적으로 모두 공개할 수 있다.
필 카모디라는 인물이 이 DVD 프로그램을 손본 다음 데이터베이스에 올라 있는 소수로 절묘하게 교환했다. 그 수는 무려 1,401자리 소수였다. 컴퓨터에 이 소수를 입력하면 DVD를 복제해 주는 방식으로 사용할 수 있다. 이 1,401자리 소수는 위법 판정을 받은 DVD 복제 프로그램의 소스 코드이므로 당연히 그로 인한 사달이 벌어졌다. 그 숫자를 공개한 학술 데이터베이스는 과연 법을 위반했을까? 아무튼, 이 소동으로 이 숫자에는 ‘위법 소수’라는 불명예스러운 이름이 붙었다.
숫자는 만국공통의 기호다. 그 숫자를 세상에 내보내는 행위가 위법하다면 우리는 새삼 ‘프로그램이란 무엇인가?’라는 의문을 인식하지 않을 수 없다. ‘위법 소수’라는 희한한 단어에는 ‘인류가 공유하는 문화유산인 숫자를 공표하는 행위가 과연 위법한가?’라는 강력한 항의의 의사가 담겨 있다.
여러분은 이 ‘위법 소수’를 체포해야 한다는 주장에 동의하는가? 나는 이 위법 소수 이야기를 들을 때마다 ‘유전 정보’를 떠올린다. 생물학자가 어느 유전자를 ‘발견’하여 특허를 취득하면 다른 사람이 그 유전자를 활용해 약을 개발할 때마다 특허료를 지불해야 한다.
― 본문 중에서 (30~32p.)

프리먼 다이슨은 미국 수학회 회지에 ‘우리가 안타깝게 놓친 기회’라는 글을 기고했다. 아인슈타인이 상대성이론을 발견하기 40년 전, 즉 1865년 시점에 상대성이론으로 이어지는 정보가 유럽의 학계에 이미 퍼져 있었다. 당시 수학계를 이끌던 독일 괴팅겐 대학교의 수학자들과 맥스웰 방정식을 다루던 물리학자들 사이에 교류가 이루어졌더라면 상대성이론은 1865년 무렵 발견되었을지 모른다. 그런데 그들은 고립된 채 서로 대화를 나누지 않았고, 수학자는 수학자끼리, 물리학자는 물리학자끼리 틀어박혀 연구하며 우물 안의 개구리가 되어 갔다. 결국 세상은 아인슈타인이라는 한 사람의 천재의 출현을 기다려야 했다.
이 다이슨의 글에 마커스 드 사토이(Marcus du Sautoy)라는 수학자가 재미있는 지적을 했다. 다이슨 자신이 1972년에 몽고메리와 만나 기적의 발견을 했다. 즉, 다이슨은 기회를 포착했다는 이야기다. 수학과 물리학이 견해 차이를 넘어 공동으로 리만 가설 해결에 매달린다. 그러면 머지않은 미래에 리만 가설이 증명되는 것도 마냥 꿈같은 이야기는 아니다. 물론 상대성이론처럼 한 사람 천재의 출현을 기다려야 할 수도 있다. 리만 가설의 해결이 어떤 패턴을 보일지는 오직 신만이 아는 문제일까.
― 본문 중에서 (59~60p.)

학자뿐 아니라 다양한 분야의 사람들이 소수의 세계에 이끌린다. 이번에는 소수와 음악에 대해 살펴보자. 수학과 음악의 관련성 역사는 피타고라스 시대까지 거슬러 올라간다. 피타고라스의 사상은 “세계의 근원은 수다”라는 말로 귀결된다. 이 한마디를 바탕으로 ‘피타고라스학파’라 불리는 철학 학파가 탄생했다.
피타고라스는 대장장이가 모루 위에 쇳덩이를 올려놓고 벼릴 때 망치로 두드리는 소리를 듣고 망치의 무게 비율로 소리의 진동수가 정수에 가까워진다는 사실을 간파했다고 한다. 진동수란 1초 동안 몇 차례 진동하는지를 의미한다(이후로는 평균율에 관한 설명이 이어진다). 1옥타브는 진동수가 1:2이고, 도와 솔은 2:3, 도와 파는 3:4와 같은 식이다. 진동수가 높은 쪽, 다시 말해 많이 진동하는 쪽이 높은 소리를 낸다. 세계 각지에서 음계(스케일)가 다른 것은 이 비율이 미묘하게 다르기 때문이다.
재즈 등의 음악에서 즐겨 사용하는 ‘텐션’이라 부르는 음의 조합은 우리가 긴장을 느끼는 소리다. 말하자면, ‘불협화음’ 같은 것이다. 이러한 음은 같은 음끼리의 비율이 정수비를 이루지 않는다. 하지만 일부러 정수비를 이루지 않는 음을 집어넣어 재즈의 ‘재즈다운 분위기’를 자아낸다(물론 리듬의 스윙도 빼놓을 수 없다). 그런데 소수 그 자체를 음표로 나타내면 어떻게 될까?
어쩐지 신비스러운 음악이다. 인간이 만든 멜로디와 바람과, 파도소리의 중간 같은 인상을 준다. 컴퓨터로 음악 작업을 할 때는 MID라는 표준 방식을 사용한다. 이 프로그램은 피아노로 말하자면, 128개의 건반에 컴퓨터가 이해하는 번호가 매겨져 있다. 그 번호 중 소수만 치면 소수음악이 만들어진다.
음악은 음악인데 살짝 아쉬운 느낌이 든다고? 그렇다면 소수를 특정 정수로 나누고, 그 나머지를 음악으로 만드는 방법도 있다. (구체적으로는, 예를 들어 소수를 7로 나눈 나머지에 55를 더하는 등) 살짝만 응용해 적용해도 소수에서 비롯된 음악을 다양한 변주곡으로 들을 수 있다.
― 본문 중에서 (84~87p.)

지금 일본에서는 독특한 ‘자’가 특별한 관심을 끌고 있다. 그것은 ‘소수자’로, 교토대학교 학생협동조합에서 판매하는 인기 상품이다. 이 자는 어떻게 인기를 끌게 되었을까? 처음에는 인터넷과 트위터에 ‘교토대에 가면 재미있는 자를 판다’는 글이 간간이 올라오는 정도였다. 그러다가 그 자는 보통 자와 어떻게 다른지, 또 구체적으로 어디에 어떻게 사용되는지 그 쓰임새에 관한 문의가 끊이지 않으며 사람들의 관심이 더욱 집중되었다.
교토대 ‘소수자’의 인기 비결은 독특한 ‘쓰임새’에 있다. 일반적인 자는 1센티미터, 2센티미터, 3센티미터, 4센티
미터 하는 식으로 자연수가 눈금으로 나열되어 있다. 그런데 교토대의 소수자는 이름 그대로 눈금에 2, 3, 5, 7, 11 다음이 13, 17로, 딱 일곱 개의 소수만 적혀 있다. 길이는 18센티미터로, 밀리미터 눈금도 소수로 179밀리미터까지 표시되어 있다.
2센티미터나 3센티미터를 잴 때는 그대로 눈금을 사용하면 된다. 눈금에 없는 수를 잴 때는 어떻게 해야 할까? 다음과 같이 하면 된다. 예를 들어 1센티미터를 잴 때는 2 눈금과 3 눈금의 차이를 활용한다. 4센티미터를 잴 때는 7 눈금과 11 눈금의 차이를 활용하면 된다. 이처럼 자신이 재고 싶은 수가 눈금에 없을 때는 어느 소수와 소수 사이를 재면 좋을지 이리저리 궁리도 하고 큰 소수에서 작은 소수를 빼며 계산해야 한다.
여기서 한 가지 궁금증이 떠오른다. 위에 언급한 대로, 교토대 소수자는 18센티미터까지 잴 수 있는 도구이므로 이 자로는 그 이하의 길이밖에 잴 수 없다. 그런데 만약 무한한 길이(크기)의 소수자가 존재한다면 그 자로 모든 수를 잴 수 있을까? 말하자면, ‘모든 자연수는 소수의 차이로 나타낼 수 있는가?’라는 가설을 세워 볼 수 있는 셈이다.
1부터 순서대로 계산해 보면 24센티미터까지 문제없이 잴 수 있다. 그런데 사실 25센티미터는 두 소수의 뺄셈만으로는 잴 수 없다. 25는 29 빼기 4지만, 이 4는 소수가 아니기 때문이다.
― 본문 중에서 (96~98p.)

6,561이라는 수는 소수일까? 얼핏 까다로운 문제처럼 보이지만, 이 문제 때문에 머리카락을 쥐어뜯을 필요는 없다. 단번에 답을 알 방법이 있으니까! 그게 뭐냐고? 각 자리의 숫자를 모두 더해 보는 거다. 즉, 6+5+6+1=18이 된다. 여기서 나온 숫자 18은 3의 배수다. 그러므로 6,561이라는 수에는 ‘3으로 나머지 없이 나누어떨어진다’는 법칙이 적용된다. 각 자리의 수를 더했을 때 9의 배수가 나오면 그 역시 마찬가지로 9로 나머지 없이 나누어떨어진다. 1의 자리가 0이나 5라면 5의 배수가 된다.
위에 설명한 방법은 입시 수학에서도 가르치는 내용이다. 그러나 7의 배수를 판별하는 방법은 입시 수학에서는 별로 쓸모가 없다. 예를 들어 7756144935가 7의 배수인지 아닌지를 답하라는 문제가 주어졌다고 해 보자. 이때 먼저 7,756,144,935식으로 세 자리씩 쉼표를 넣어 끊으면서 이 숫자를 적어 보자. 그리고 각 덩어리를 한 덩어리씩 띄워서 더한다.

756+935=1,691
7+144=151

다음으로, 둘의 차이를 계산한다.
1691-151=1,540
이 1,540을 7로 나누면 답은 220으로 나머지 없이 깔끔하게 나누어떨어진다. 따라서 7756144935는 7의 배수임을 알 수 있다. 과정도 제법 복잡하고 계산하는 데도 상당한 시간이 걸린다. 그런 터라, 풀이 시간이 제한된 입시 수학에서는 3과 9의 배수를 구별하는 방법만 가르쳐도 충분하다. 7의 배수를 판별하는 방법을 활용하여 문제를 풀 경우 시간이 너무 오래 걸려서 설령 푼다 해도 점수를 높이는 데 오히려 장애가 될 가능성이 크므로 별 의미가 없는 셈이다.
― 본문 중에서 (105~107p.)

가우스와 관련된 유명한 일화가 있다. 말썽꾸러기 소년이었던 가우스는 선생님에게 벌로 ‘1부터 100까지 전부 더하라’는 숙제를 받았다. 한데, 선생님이 숙제를 내주자마자 가우스는 “5,050입니다”라고 망설임 없이 답을 말했다고 한다. 그는 어떻게 1부터 100까지 더한 답을 단 몇 초 만에 맞힐 수 있었을까?
평범한 학생이라면 1+2+3+……과 같은 방식으로 1부터 100까지의 모든 숫자를 일일이 계산하느라 한동안 끙끙거리며 숙제와 씨름했을 것이다. 그러나 가우스는 매우 독창적인 계산 방법으로 순식간에 정답을 찾아냈다. 먼저, 그는 1과 100을 더하면 101이 된다는 사실에 착안했다. 그리고 2+99도, 3+98도 101이 된다. 마찬가지 방법으로 계산을 거듭하다 보면 마지막 남은 50+51쌍도 101이라는 답이 나온다. 즉, 1부터 50까지 같은 패턴이 50번 반복되는 셈이다. 따라서 101×50=5,050으로 순식간에 계산이 끝난다.
될성부른 떡잎이었던 가우스였지만, 희한하게도 그는 평생 단 한 권의 책밖에 남기지 않았다(물론 그가 쓴 논문은 수없이 많이 전해진다). 그것은 바로 『정수론』이라는 책이다. 라틴어로 『Disquisitiones Arithmeticae』라는 제목으로, ‘산술 연구’라는 표제로 번역되기도 했다. 이렇듯 당시만 해도 학문의 세계는 라틴어나 그리스어로 연구하는 게 일반적인 흐름이었다.
가우스는 1801년, 그의 나이 스물네 살 때 이 책을 출간했다. 그러나 책에 실린 내용은 열일곱 살이던 1795년 무렵부터의 연구 실적으로, 열아홉 살 무렵에 원고를 완성했다는 이야기도 전해진다. 그의 천재성은 이미 십대 시절부터 빛을 발한 것 같다.
“수학은 과학의 여왕이며, 정수론은 수학의 여왕이다.”
이는 가우스가 정수론에 관해 언급한 말로, 오늘날까지 사람들 사이에 널리 회자된다. 요컨대 과학을 지배하는 것은 수학이며, 수학을 지배하는 것은 정수론이라는 의미다. 가우스의 말대로, 그가 살던 시대에는 수에 관한 연구가 매우 중시되었다.
― 본문 중에서 (125~127p.

저자 서문_ 소립자와 원자핵에서 지구와 우주까지, 세상 만물을 움직이는 숫자 소수

1장_ 매미에서 법률까지, 세상을 움직이는 숫자 소수

매미가 소수인 13년, 17년을 주기로 대량 발생하는 이유