196,884 차원의 눈송이를 상상할 수 있는가?



사그라지지 않는 혁명의 기운이 도시를 휘감고 있던

1832년 5월 30일 새벽,

파리 외곽에서 울린 한 발의 총성과 함께

이 위대한 탐구의 역사가 시작되었다!



더할 나위 없이 우아하면서 신비로운 아름다움을 가진

광대하고도 복잡한 우주의 구조를 밝힐 열쇠,

몬스터를 찾기 위한 200여년에 걸친 수학자들의 열정과 모험



여전히 현재 진행형인 이 위대한 지적 모험의 역사야말로

현대 수학의 장대한 서사시이다!  

 

출판사 서평
196,884 차원의 눈송이를 상상할 수 있는가?
사그라지지 않는 혁명의 기운이 도시를 휘감고 있던
1832년 5월 30일 새벽,
파리 외곽에서 울린 한 발의 총성과 함께
이 위대한 탐구의 역사가 시작되었다!
더할 나위 없이 우아하면서 신비로운 아름다움을 가진
광대하고도 복잡한 우주의 구조를 밝힐 열쇠,
몬스터를 찾기 위한 200여년에 걸친 수학자들의 열정과 모험
여전히 현재 진행형인 이 위대한 지적 모험의 역사야말로
현대 수학의 장대한 서사시이다!
1832년 5월 30일 새벽, 한 천재...
196,884 차원의 눈송이를 상상할 수 있는가?
사그라지지 않는 혁명의 기운이 도시를 휘감고 있던
1832년 5월 30일 새벽,
파리 외곽에서 울린 한 발의 총성과 함께
이 위대한 탐구의 역사가 시작되었다!
더할 나위 없이 우아하면서 신비로운 아름다움을 가진
광대하고도 복잡한 우주의 구조를 밝힐 열쇠,
몬스터를 찾기 위한 200여년에 걸친 수학자들의 열정과 모험
여전히 현재 진행형인 이 위대한 지적 모험의 역사야말로
현대 수학의 장대한 서사시이다!
1832년 5월 30일 새벽, 한 천재의 죽음으로부터
우주의 구조를 밝힐 현대 수학의 새로운 역사가 시작되었다!

죽음을 불러 온 결투를 벌인 이유가 아직까지 명확하게 해명되지 않은 채, 아직까지 수학사가들 사이의 논란을 불러일으키고 있는 에바리스트 갈루아는 겨우 스무 살로 생을 마감했지만, 수학의 역사에서는 불멸로 살아있다. 이렇듯 낭만주의적 의미에서의 ‘천재’라는 말에 그 어떤 수학자보다 잘 어울리는 갈루아가 생전에 썼던 두 편의 논문은 당대 수학계의 거장인 오귀스탱 코시와 장 밥티스트 푸리에에게 보내졌지만, 혁명기의 혼란스러운 정치적 상황으로 망명을 해야 했던 코시는 원고를 분실하고 말았고, 푸리에는 논문을 집에 가져갔지만 곧바로 세상을 떠나버린 채, 논문은 행방불명이 되고 말았다. 이후 2세기 동안 수많은 위대한 수학자들을 지적인 모험 속에 동참하게 했던 대담하고도 폭발적인 에너지를 가진 갈루아의 기본 아이디어는 대수방정식의 해에 대한 것이다.
갈루아는 주어진 방정식의 여러 해들 사이의 대칭성 정도를 측정했고 그 대칭성 정도를 새롭고 독창적인 방식으로 사용했다. 갈루아 사망 당시에는 갈루아의 연구 내용을 아무도 이해하지 못했지만 다행히 결투 전날 밤에 쓴 편지가 없어지지 않고 남았고, 요제프 리우빌이 주석을 달아 갈루아의 편지를 출간하게 된다.
갈루아는 치환들로 이뤄진 집합을 연구했는데, 그 집합은 다음과 같은 조건을 만족한다. 두 치환을 연이어 행하여 얻은 세 번째 치환이 다시 그 집합 안에 들어 있어야 한다는 조건이다. 갈루아는 그러한 집합을 ‘군’이라고 명명했다. 예를 들어 고정된 패턴에서 닮은 부분들을 치환하는 경우에 군이 등장한다. 두 개의 치환이 각각 패턴을 보존하면 두 개를 연이어 적용해서 얻은 세 번째 치환도 역시 그 패턴을 보존한다. 주어진 방정식에서 얻은 치환군으로 갈루아는 근의 표현 방식이라는 지엽적 문제를 무시할 수 있게 되었으며, 이들 근 사이에 어떤 치환이 가능한가라는 문제에 집중함으로써 그는 나무가 아니라 숲을 볼 수 있었던 것이다.
더 이상 분해되지 않는, 기본을 이루고 있는 치환군을 소수 순환군이라고 한다. 갈루아는 방정식에서 치환군을 얻었는데 이때 핵심이 되는 내용은 그 치환군을 가능한 한 단순한 군으로 분해하는 일이었다. 이러한 갈루아의 아이디어는 이전의 라그랑주의 정리와 코시의 증명과 결합되자 그 대담하면서도 심오한 의미가 드러나기 시작했다.
현대 수학을 이끌어 온 3대 분야 중 하나인 군이론은 난해하기로 정평이 나있으며, 수학 연구자들도 군이론을 전문으로 하지 않은 이상 쉽게 접근하기 어렵다고 한다. 그 군이론 중에서도 우리의 경험적이고 물리적인 한계를 훌쩍 뛰어넘는 196,884 차원에서 구성되는 몬스터 대칭군은 감히 상상할 수조차 없는 우주 저 너머의 미지의 것으로 느껴지기 쉽다.
사실 24차원 구조를 연구하고 있었던 1950~60년대에만 해도 그 연구의 동기는 라디오 송출 문제를 해결하려는 것이었다. 이 과정에서 존 리치가 에른스트 비트 디자인을 이용하여 24차원에서 리치 격자를 만들어냈고 새로운 원자 대칭군이 존재할 것이라는 확신이 퍼져 나가게 되었다. “수학적 발견에는 마치 봄철 숲 속에 피는 바이올렛처럼 제철이 있다. 사람의 힘으로 그 시기를 앞당기거나 뒤로 미룰 수는 없다.”는 가우스의 말과 “버섯 한 송이를 발견하거나 하나의 새로운 진리를 발견했다면 주위를 잘 살펴보아야 한다. 버섯과 진리는 무리를 지어 자라나기 때문이다.”라는 게오르크 뽈야의 말과 같이 새로운 원자 대칭군이 발견되자 다시 한 무더기의 원자 대칭군이 발견되자 다시 새로운 원자 대칭군의 발견이 뒤따랐고, 원자 대칭군 중에서 가장 큰 차원인 196,884 차원에서 구성되는 원자 대칭군인 ‘몬스터’가 발견되기에 이른다.
여기까지 오기까지 200여년이라는 시간과 50여명이 넘는 시대를 달리하는 수학자들의 노력이 투여되었다. 현대 수학의 역사에 있어서 이보다 더 장대한 시간과 인원이 투여된 경우는 없다. 일종의 지상 최대의 작전이었던 셈이다. 이 지상 최대의 작전을 통해 발견된 몬스터는 그렇다면 과연 어디로 가는 길을 열어 줄 열쇠인가?
이 지점에서 20세기 전반부에 있었던 물리학에서의 두 가지 진전을 생각해보자. 상대성이론과 양자이론이 그것이다. 일반상대성이론은 블랙홀을 제외한 거시적 세계를 설명하는 데에는 유용하다. 블랙홀은 질량이 막대하기 때문에 곡률이 엄청나게 커지고 그래서 시공간에서 특이점이 생겨난다. 한편 원자와 분자 수준의 미시적 세계에서는 중력은 무시해도 좋을 정도로 매우 약하다. 물리학자들은 이 중력을 무시하는 대신에 양자이론을 만들어내야 했다. 원자의 질량 대부분은 매우 작은 원자핵에 집중되어 있고 원자핵은 양성자와 중성자라는 입자로 구성되어 있다. 많은 실험과 연구를 통해 양성자와 중성자에도 쿼크로 구성된 내부 구조가 있음이 밝혀졌다. 하지만 내부 구조를 밝히는 과정은 무한정 계속될 수 없었다. 왜냐하면 계속해서 더욱 더 적은 입자에 질량이 집중되어 있다면 결국에는 블랙홀이 나오게 될 것이기 때문이다. 아주 높은 에너지 수준에서는 양자역학과 일반상대성이론은 서로 부합하지 않게 된다.
1970년대에 새로운 이론이 출현한다. 바로 끈이론이었다. 끈이론은 입자를 시공간 속을 움직여나가는 끈으로 파악한다. 물리학자들은 이 끈이론이 양자역학과 일반상대성이론을 하나로 묶어내는 방법이라고 보고 있다. 리처드 보처즈는 1992년에 시공간 안에서 움직이는 끈을 양자화함으로써 대수적 구조를 만들어 냈고 ‘그 구조가 시공간이 26차원일 때만 영이 아님’을 보여주었다. 이를 통해 몬스터 대칭군과 수론 사이의 문샤인(moonshine) 연관성이 큰 이론적 틀 속에서 파악되기 시작하였다. 아직까지는 몬스터의 속성들이 속속들이 이해되고 있지는 못하고 여전히 풀리지 않은 수수께끼로 남아 있지만 그것을 이해하게 된다면 ‘우주의 구조 안에 의외의 방식으로 짜 넣어진’ 몬스터 대칭군이 존재함을 발견하게 될 것이며, 즉 몬스터 대칭군을 통해 우주의 기본 구조를 파악하게 될 것이다. 그리고 이 책은 바로 이 우주 구조를 이해할 수 있게 해주는 열쇠인 ‘몬스터’를 달빛에 비쳐 반짝이는 가장 우아하면서 신비스러운 아름다움을 지닌 모습으로 그려보임으로써 독자들의 상상력을 자극하는 동시에 무한하면서도 근본적인 우주에 대한 심오한 비젼을 선사해 줄 것이다.
2세기 동안 이뤄졌던 수학자들의 지적 모험을 통해
현대 수학의 역사를 생생하게 읽는다!
리우빌이 갈루아의 편지를 출간한 이후 치환군을 체계적으로 다루는 작업을 맡은 사람은 카미에 조르당이었다. 조르당으로부터 1998년 리처드 보처즈가 군이론과 끈이론의 관련성을 해명하여 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상을 수상하기까지 근 200여년 동안 수 많은 수학자들이 유한군을 분류하는 지적인 모험에 뛰어들었고, 현대 수학의 새로운 영역을 개척해왔다. 여기에 관여하고 참여한 수학자들의 인원만도

목차
서문
프롤로그
1. 테아이테토스와 정이십면체
2. 갈루아 - 한 천재의 죽음
3. 무리수 근
4. 군
5. 소푸스 리
6. 리 군과 물리학
7. 유한으로 옮겨가기
8. 세계대전 이후
9. 우클레에서 온 사람
10. 파이트-톰슨 정리
11. 판도라의 상자
12. 리치 격자
13. 피셔의 몬스터
14. 아틀라스
15. 기괴한 미스터리
16. 구성
17. 문샤인
주
부록 1. 황금비
부록 2. 비트 디자인
부록 3. 리치 격자
부록 4. 26개의 예외적 원자 대칭군
용어 해설
역자 후기
색인