인문학과 수학이 만났다!
고사성어의 지혜와 수학의 논리가 통했다!
고사성어를 통해 한자와 지혜를 배우고, 수학을 통해 논리력과 분석력을 키운다.


이젠 교양수학에도 내러티브가 필수다. 딱딱한 수학을 말랑말랑하게 해서 쉽게 전달한다는 교양수학에 변화가 필요하다. 많은 교양수학 책들의 형식과 내용이 비슷해서 독자들은 이 분야에서 신선한 공기를 느끼지 못했다. 그 대안으로 이제 고사성어를 통해 수학을 전달하는 새로운 내러티브 실험이 진행된다. 알기 쉬운 교양수학 전도사로 소문이 난 이광연 교수가 선보이는 21세기 새로운 교양수학인 『이광연의 수학플러스』다.
이 책 『이광연의 수학플러스』는 고사성어를 통해 수학을 이야기한다. 고사성어가 동아시아 문명의 지혜를 담고 있다면, 수학은 고대 그리스부터 내려오는 논리를 드러낸다. 예를 들어, ‘새옹지마塞翁之馬’는 인생의 변화무쌍한 파고 앞에서 겸손함과 의연함을 가르쳐준다. 반면 피타고라스의 정리는 수 천 년 동안 쌓아온 400여개의 증명과 그 정리를 이용한 이집트의 피라미드 같은 건축물을 통해 우리에게 엄밀한 논리를 제시한다. 특히 수학은 누적적이다. 고대부터 현재까지 수학은 처음 시작을 알아야 그 다음을 알 수 있고, 오늘날의 첨단 수학까지 접근할 수 있다. 즉, 수학은 옛것을 익히고 새것을 안다는 ‘온고이지신溫故而知新’의 학문이다. 『이광연의 수학플러스』는 온고지신의 마음으로 고사성어가 나오게 된 배경, 그리고 그 고사성어와 연결해서 생각할 수 있는 수학을 함께 알려주고 있다.
물론 이 책에 있는 수학은 다른 책에서도 찾을 수 있다. 그렇다면 왜 같은 이야기를 반복해서 소개할까? 반복해서 소개하는 그 내용이 중요하기 때문이다. 이런 방식은 수학책에서 심한데, 수학의 역사가 인류의 역사와 함께 하기 때문이다. 인류가 처음 문명을 시작할 때에도 수학은 그 곁에 있었다. 수학은 인류 문명의 발전을 견인해 왔고, 항상 선두에서 문명을 이끌어 왔다. 인류가 새로운 세계로 향하고자 할 때 수학은 언제나 그 길을 알려주는 등대 같은 학문이었다. 결국 인류의 문명이 계속되는 한 수학은 반복될 것이다. 그러나 같은 것이 반복되는 것은 아니라 조금씩 새로운 수학을 덧붙이며 새롭게 반복될 것이다.
후한後漢 말 위魏ㆍ촉蜀ㆍ오吳의 삼국三國이 서로 대립하고 있을 당시 오나라 손권孫權의 부하 중에 여몽呂蒙이라는 장수가 있었다. 그는 싸움에 뛰어난 사람이었기 때문에 전쟁에서 많은 공을 세워 장군이 되었지만 글공부를 하지 않아서 일자무식이었다. 그래서 손권은 그에게 학문을 깨우치라고 충고했고, 여몽은 전장戰場에서도 손에서 책을 놓지 않고 공부했다. 얼마 후 손권의 부하 중 뛰어난 학식을 지닌 노숙이 여몽을 찾아갔다. 노숙은 여몽과 이야기를 나누는 사이 그가 옛날과 달리 박식해져 있음을 알고 깜짝 놀랐다. 그러자 여몽은 이렇게 말했다. “선비는 헤어진 지 삼 일이 지나면 눈을 비비고 다시 볼 정도로 달라져 있어야 합니다.” 이 말에서 유래한 고사성어가 바로 ‘괄목상대刮目相對’다.
『이광연의 수학플러스』를 통해 독자들은 책을 읽기 시작한지 삼 일만에 수학에서 눈을 비비고 다시 볼 정도로 달라져 있을 것이다. 또한 수학은 논리적인 사고를 키우기 위해 배우는데, 이 책을 일독한다면 모순矛盾이 없게 생각을 다듬어 어떤 일을 할 수 있는 능력을 기를 수 있다. 그리고 옛말에 이르기를 ‘알기만 하는 사람은 좋아하는 사람만 못하고, 좋아하는 사람은 즐기는 사람보다 못하다知之者 不如好之者, 好之者 不如樂之者’고 했다. 독자들은 『이광연의 수학플러스』를 통해 분명 수학을 즐기는 사람이 될 것이다.

각주구검에서 좌표평면을 상상한다

어리석은 일이나 완고한 사람을 풍자하는 고사성어인 ‘각주구검刻舟求劍’은 진나라의 재상 여불위가 그의 식객들에게 편집시켜서 만든 『여씨춘추呂氏春秋』에 나온다.

전국시대 초나라의 한 젊은이가 귀한 검 한 자루를 지닌 채 배를 타고 양자강을 건너고 있었다. 그런데 배가 강 한복판에 이르렀을 때 그만 실수로 손에 들고 있던 검을 강물에 떨어뜨리고 말았다. “이런, 이를 어쩐다.” 젊은이는 얼른 허리춤에 차고 있던 단검을 꺼내더니 검을 떨어뜨린 그 뱃전에다 표시를 하면서 중얼거렸다. “검이 떨어진 곳이 여기니까 배가 닿으면 찾아봐야지!” 이윽고 배가 나루터에 닿자 그는 옷을 벗어 던지고 표시를 한 뱃전 밑 강물 속으로 뛰어 들었다. 젊은이는 배 밑을 샅샅이 뒤졌지만 검이 그 밑에 있을 리가 없었다. (본문 9~10쪽)

이 고사성어에 등장하는 젊은이는 어리석게도 강에 떠 있는 배에 검이 떨어진 위치를 표시했는데, 이것을 수학적으로 생각해보면 좌표평면에 한 점의 위치를 표시한 것이다. 수학에서 위치를 표시했다는 것은 좌표평면을 사용했다는 것이고, 이는 해석기하학을 이용했다는 뜻이다. 17세기 초에 발전한 해석기하학은 기하학적인 고찰을 그에 대응하는 대수적인 고찰로 바꾸어 놓은 것이다. 해석기하학이 이런 능력을 갖게 된 것은 대수적 처리 과정과 기호가 발전되고 난 이후이며, 이 분야에 프랑스 수학자 데카르트와 페르마가 활력을 불어 넣은 후에야 우리에게 익숙한 형태의 해석기하학이 탄생되었다. 좌표평면의 도입으로 물리학에서 주로 사용되고 있는 벡터를 쉽게 다룰 수 있게 되어 물리학의 발전에도 큰 영향을 미쳤다. 길이 · 넓이 · 질량 · 온도와 같이 그 양의 크기만 주어지면 완전히 표시되는 스칼라와 달리, 벡터는 힘 · 속도와 같이 크기뿐만 아니라 방향까지 지정하여 수학적 현상을 나타낸 것이다. 이처럼 수학을 한 단계 업그레이드 시킨 좌표평면에 관한 내용이 동양에서는 이미 생활 속의 지혜로 사용되었다는 것이 흥미롭다.

오십보백보에서 근삿값을 생각한다

오십보 도망친 사람이 백보 도망친 사람을 비웃는다는 고사성어로, 정도의 차이는 있지만 본질적으로 같다는 뜻인 ‘오십보백보五十步百步’는 『맹자孟子』
<양혜왕梁惠王>
에 나온다.



전국시대인 기원전 4세기 중엽 위나라 혜왕은 진나라의 압박을 견디다 못해 도읍을 대량으로 옮겼다. 그러나 제나라와의 싸움에서도 늘 패하는 바람에 국력은 더욱 쇠약해졌다. 그래서 혜왕은 국력회복을 자문하기 위해 당시 제후들에게 왕도 정치론을 유세중인 맹자를 초청했다. “선생이 천 리 길도 멀다 않고 이렇게 와 준 것은 과인에게 부국강병의 비책을 가르쳐주기 위함이 아니겠소?” “저는 귀국의 부국강병과 상관없이 인의仁義에 대해 아뢰고자 왔습니다.” “백성을 생각한다는 인의의 정치라면 과인은 평소부터 힘써 베풀어 왔소. 하내 지방에 흉년이 들면 젊은이들을 하동 지방으로 옮기고 늙은이와 아이들에게는 하동에서 곡식을 가져다가 나누어 주도록 하고 있소. 그와 반대로 하동에 기근이 들면 하내의 곡식으로 구호하도록 힘쓰고 있지만 백성들은 과인을 사모하여 모여 드는 것 같지 않고, 이웃 나라의 백성 수가 줄어들었다는 말도 못 들었소. 대체 어찌된 일이오?” “전하께서는 전쟁을 좋아하시니 전쟁에 비유해서 말씀드리겠습니다. 전쟁터에서 백병전이 벌어지기 직전 겁이 난 두 병사가 무기를 버리고 도망쳤습니다. 그런데 오십보를 도망친 병사가 백보를 도망친 병사보고 비겁한 놈이라고 비웃었다면 전하께서는 이 상황을 어떻게 생각하십니까?” “그런 바보 같은 놈이 어디 있소? 오십보든 백보든 도망치기는 마찬가지 아니오?” “그걸 아셨다면 백성을 구호하시는 전하의 목적은 인의의 정치와 상관없이 부국강병을 지향하는 이웃 나라와 무엇이 다릅니까?” 혜왕은 이 말에 대답하지 못했다. 부국강병을 목적으로 백성을 구호한 것을 진정으로 백성을 생각해서 구호한 양 자랑한 것이 부끄러웠기 때문이다. (본문 17~18쪽)



오십보백보는 둘이 거의 비슷하다는 의미지만 오십보와 백보는 두 배의 차이가 난다. 하지만 정확하게 그 거리가 두 배라고는 할 수 없다. 오십보나 백보를 걷는 동안 모든 걸음의 길이가 정확하게 똑같을 수는 없기 때문이다. 이와 같이 길이나 무게 등 여러 양을 측정하여 얻은 값을 측정값이라고 하며 실제의 값을 참값이라고 한다. 자로 물건을 재거나 저울로 무게를 다는 경우에 물건의 끝이나 저울의 바늘에 가장 가까운 쪽의 눈금을 읽어 측정값을 정한다. 예를 들어, 키를 쟀는데 160cm와 161cm 사이이며 160cm에 더 가깝다면 측정값은 160cm다. 이런 측정값과 같이 참값은 아니지만 참값에 가까운 값을 그 참값에 대한 근삿값이라고 한다. 오십보백보에서 50과 100은 근삿값인데, 이 둘을 십의 자리에서 반올림하면 100으로 같다. 결국 오십보백보는 사소한 부분에서만 차이가 있을 뿐 전체적인 면에서 별 차이가 없다는 뜻의 ‘대동소이大同小異’와 일맥상통한다.




누란지위로 케플러의 추측을 풀다



알을 포개 놓은 것 같은 위기를 뜻하는 말인 ‘누란지위累卵之危’는 『사기史記』
<범저채택열전范雎蔡澤列傳>
에서 그 유래를 찾을 수 있다.



전국시대 때 여러 나라를 돌아다니며 제후들을 설득하여 자신의 정견政見을 실현하려는 무리들을 종횡가縱橫家라고 했다. 위나라의 가난한 집에서 태어난 범저范雎도 그 중 한 사람이었는데, 처음에 그는 위나라 중대부 수가 밑에서 벼슬을 하고 있었다. 어느 날 수가는 제나라에 사신으로 가게 되었고 이때 범저도 수행하게 되었다. 그런데 제나라에서 수가보다 범저의 인기가 더 좋자 기분이 상한 수가는 귀국 즉시 ‘범저가 제나라와 내통했다’고 위제魏齊에게 고해 바쳤다. 위제는 화가 치밀어 범저를 호되게 고문했다. 모진 고문에 범저가 죽은 듯이 누워 있자 가마니에 감아 변소에 던져 놓고 오줌을 뿌렸다. 그러나 범저는 간신히 도망쳐 정안평이라는 사람에게 몸을 의탁했다. 그리고는 이름을 장록으로 바꾸고 호시탐탐 위나라를 탈출할 기회를 노리고 있었다. 때마침 위나라에 온 진나라 사신 왕계가 인재를 구하고 있다는 사실을 안 장안평은 그에게 범저를 추천했다. 왕계는 밤중에 찾아온 범저를 데리고 진나라로 돌아가서 소양왕에게 범저를 이렇게 소개했다. “위나라 장록 선생은 천하에 뛰어난 외교가입니다. 그는 진나라의 정치를 이렇게 평하고 있습니다. ‘진나라는 알을 포개 놓은 것처럼 위태롭습니다累卵之危. 하지만 나를 신하로 쓰면 안전할 것입니다.’ 그래서 제 수레에 태워서 데리고 왔습니다.” 소양왕은 불손한 범저를 당장 내치고 싶었지만 인재가 필요했으므로 일단 그럴 말석에 앉혔다. 그 후 범저는 원교근공책遠交近攻策으로 그의 진가를 발휘하였다. 여기서 원교근공이란 먼 나라와는 친교를 맺고 가까운 나라는 공격한다는 뜻이다. (본문 55~56쪽)



알을 깨지지 않게 포개 놓으려면 상당한 집중력과 노력이 필요하다. 동그란 알을 일렬로 쌓아 올린다는 것은 거의 불가능하다. 그러나 알을 정사면체 모양으로 쌓아 올리는 것은 과일가게에서 동그란 사과나 귤을 쌓아 올리는 것과 같이 쉽다. 알이나 과일을 정사면체 모양으로 쌓아 올리는 것이 최적이라는 분명하고도 하찮은 사실이 바로 ‘케플러의 추측’이라는 유명한 수학문제다.

이 문제는 영국의 항해 전문가인 월터 레일리로부터 시작되었다. 그는 1590년대 말 항해를 위해 배에 짐을 싣던 중 자신의 조수였던 토머스 해리엇에게 배에 쌓여 있는 포탄 무더기의 모양만 보고 그 개수를 알 수 있는 공식을 만들라고 했다. 뛰어난 수학자였던 그는 특별한 모양의 수레에 쌓여 있는 포탄의 개수를 계산하는 공식을 고안했으며, 배에 포탄을 최대한 실을 수 있는 방법을 찾으려고 했다. 그러나 그는 자신이 이 문제를 해결할 수 없다고 생각해서, 당시 최고의 수학자이자 천문학자였던 요하네스 케플러에게 편지를 보냈다.

케플러는 물질을 구성하는 작은 입자들의 배열 상태를 연구하던 중에 부피를 최소화 시키려면 입자들을 어떻게 배열시켜야 하는지를 생각했다. 모든 입자들이 공과 같은 구형이라고 한다면 어떻게 쌓는다 해도 사이사이에 빈틈이 생긴다. 문제는 이 빈틈을 최소한으로 줄여서 쌓인 공이 차지하는 부피를 최소화 시키는 것이다. 이 문제를 해결하기 위해 케플러는 여러 가지 다양한 방법에 대해 그 효율성을 일일이 계산해 보았지만, 끝내 결론을 내리지 못하고 추측만을 남겨 놓았다. 결국 이 ‘케플러의 추측’은 약 400년 동안이나 수학자들을 괴롭히다가 1998년에 미시건대학교의 토머스 해일스에 의해 증명되었는데, 엄밀한 수학적 방법만을 사용한 것이 아니라 상당 부분을 컴퓨터에 의존한 것이었다. 누란지위와 같은 뜻의 고사성어에는 풍전등화風前燈火가 있다. 풍전등화는 ‘바람 앞의 등불’이라는 뜻으로, 사물이 위태로운 처지에 놓여 있음을 가리킨다.

머리말

01 각주구검과 좌표평면
02 오십보백보와 근삿값
03 계륵과 암호
04 완벽과 구
05 천재일우와 확률
06 효시와 제논의 역설
07 누란지위와 케플러
08 기우와 우주
09 백척간두와 미분가능성
10 관포지교와 친화수
11 삼척동자와 도량형
12 과유불급과 부등식
13 다기망양과 미로
14 격물치지와 논증수학의 시작
15 곡학아세와 삼대 작도 문제
16 군맹무상과 연립방정식
17 다다익선과 통계
18 동병상련과 닮음
19 명경지수와 수의 단위
20 배중사영과 정사영
21 의심암귀와 구두장이의 칼
22 호접지몽과 카오스
23 백아절현과 음계
24 삼고초려와 수 철학
25 마저작침과 파이
26 원교근공과 절댓값
27 원입골수와 피타고라스의 정리
28 월하빙인과 일대일 대응
29 일자천금과 『원론』, 『구장산술』
30 와각지쟁과 극한

참고문헌