사랑 찾는 알고리듬에서 질병 막는 네트워크까지
“수학은 어떻게 세상의 도구가 되었을까?”

숫자에 익숙하지 않아도 술술~ 읽히고 쏘옥~ 빠지는 유쾌한 수학 교양서가 나왔다. 대부분의 사람들에게 수학은 학교 시험을 위한 하나의 과목에 지나지 않았다. “이걸 배워서 어디다 써먹으려는 거야?”라는 볼멘소리와 함께 의무 교육을 끝으로 수학과 영원한 이별을 맹세하기도 했다. 그런데 정말 수학은 우리에게 쓸모가 없는 학문이었을까?
영국의 대중 수학자이자 컴퓨터 과학 박사인 티모시 레벨은 “일상의 모든 것이 수학으로 귀결된다”고 강조하면서, 인간의 심리와 관계에서부터 도시와 스포츠, 질병, 컴퓨터 바이러스, 영화, 소셜 미디어, 우주에 이르기까지 일상생활 속에서 수학이 어떻게 작용하고, 어떤 방식으로 수학을 더 유리하게 사용할 수 있는지 흥미로운 질문과 이야기를 통해 쉽고 재미있게 들려준다.
우주가 가장 좋아하는 숫자는? 수학으로 사랑을 찾을 수 있다고? 내 친구는 왜 나보다 친구가 많을까? 페이스북은 어떻게 사람의 감정을 조작할까? 방정식으로 패스트푸드점에 길게 늘어선 줄을 해결할 수 있을까? TV는 어떻게 제품을 가장 사고 싶어 할 시기에 딱 맞춰 광고를 내보낼까? 다양한 질문들과 자연스럽게 어울리는 일러스트와 이야기를 따라가다 보면 고개가 절로 끄덕여지며, 그동안 어렵게만 느껴졌던 수학이 사실은 가장 가깝게 지내야 할 현명한 친구임을 깨닫게 될 것이다.
영국에서 가장 재미있는 수학자가 들려주는
사람과 세상을 둘러싼 지적이고 흥미로운 수학 이야기
“수학은 돈 계산 말고도 이렇게나 많이 쓰인다고~!”

수학은 늘 억울하다. 어렵고 따분하고 쓸모없는 학문이라는 편견 때문에! 방송, 라디오, 팟캐스트, 저술 등 다양한 활동으로 수학의 대중화에 앞장서고 있는 저자는 이 책을 읽는 방법에 대해 “세부사항보다 아이디어에 초점을 맞추고, 미묘하고 복잡한 공식보다 숨은 재미있는 이야기를 따라가라”고 소개한다. 그렇다. 이 책은 지금껏 졸음을 쏟아내게 만들던 교과서 속 수학이 아니다!
《수학님은 어디에나 계셔》는 우리의 일상생활 곳곳에서 유용하게 활용되고 있는 수학적 원리를 난해한 숫자가 아닌 일러스트와 이야기 형식으로 풀어내며 수학에 대한 막연한 편견과 두려움을 떨쳐버릴 수 있도록 도와준다. 특히 수학을 대중의 눈높이에서 알기 쉽게 전달하는 것으로 정평이 나 있는 저자는 마치 견원지간 같았던 수학과 재미를 연결해, 지금껏 제대로 이해하지 못했던 수학의 지적이고 매력적인 세계로 빠져들게 만드는 유쾌한 안내자가 되어줄 것이다.

―수학으로 잃어버린 물건 찾는 법
어느 주말 아침, 애인과의 데이트를 기대하며 한껏 멋을 부리고 있는데, 이럴 수가! 손가락에 커플 반지가 없다! 등줄기에서 땀 한 방울이 흘러내리는 순간일 것이다. 그러나 걱정 마시라. ‘베이즈의 정리(Bayes’ theorem)’를 알면 잃어버린 물건은 물론 사랑도 되찾을 수 있다. 반지가 집 어딘가에 있다는 사전 정보(prior)에 따라 각 장소에서 찾을 수 있는 확률을 나눈다. 예를 들어 어제 가장 오래 머물렀던 거실에서 찾을 수 있는 확률이 70%, 침실 20%, 욕실 10%라면 가장 유력한 거실부터 찾기 시작한다. 그런데도 발견하지 못했다면 바로 다음 장소로 이동하는 것이 아니라 새로운 증거, 즉 실패한 탐색을 바탕으로 새로운 확률을 갱신해야 한다. 이것이 사후 정보(posterior)다. 베이즈의 정리는 아주 단순한 공식에 숫자만 대입하면 누구라도 간단하게 답을 구할 수 있다. 이 유용한 수학 공식은 물건 찾기뿐 아니라 서적 판매부터 인터넷 검색, 스팸 필터, 의료 진단, 법정 소송, 온라인 번역기까지 확률 계산이 필요한 거의 모든 분야에서 활용되고 있다. 그리고 이것만 명심하면 된다.
“당신만의 신념이 있더라도 항상 새로운 증거를 통해 그 신념을 기꺼이 갱신해야 한다.”

―우리가 만난 건 우연일까? 아닐지도!
살다 보면 신기한 우연들을 많이 경험하게 된다. 예를 들어 학교에 입학했는데 한 반에 같은 이름을 가진 아이들이 있는 경험. 누구나 있을 것이다. 또한 생일이 같은 친구를 만나는 일은 드물어서 이런 경우에는 ‘기적’이라며 감격하기도 한다. 한 공간에 얼마나 많은 사람이 있어야 그들 중 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 그렇지 않을 확률보다 클까? 아마도 사람이 많을수록 확률이 높아진다고 예상할 것이다. 그러나 답은 생각보다 작은 수인 23명이다! 23명을 짝지으면 총 253쌍이 만들어지므로 생일이 같을 기회도 253회나 된다. 따라서 계산해보면 23명 중 두 명의 생일이 같을 확률은 51%가 되는 것이다. 우리는 매일 수많은 사건을 경험하거나 목격하지만 대부분 인식하지 못한다. “기적은 흔한 통계 현상”이라는 ‘리틀우드의 법칙(Littlewood’s law)’처럼 우리가 우연이라고 부르는 일은 사실 그리 놀랄 만한 일이 아닌 것이다. 이처럼 이 세상은 ‘기적’으로 불리는 ‘수학’으로 가득 차 있다.

―내 친구가 나보다 친구가 많은 이유
친구의 SNS를 보면 매번 다양한 사람들과 어울리고 새로운 경험을 하며 근사한 사진을 올린다. 그동안 우리는 늘 가는 커피숍에서 늘 만나는 친구와 늘 같은 얘기를 하는 것 같아 묘하게 의식될 때가 있다. 혹시 내 친구가 나보다 훨씬 친구가 많다고 느낀 적이 있는가? 페이스북의 경우에는 사용자의 93%, 트위터의 경우에는 무려 98%가 자신보다 친구들의 팔로워 수가 더 많다고 생각한다. 이러한 현상을 ‘우정의 역설(Friendship Paradox)’이라 부르는데, 수학적으로도 참이다. 하지만 우정의 역설은 친구가 아닌 네트워크에 관한 이론이기 때문에, 내 친구가 나보다 친구가 많은 만큼 병에 걸릴 확률 또한 높다. 바이러스는 네트워크를 통해 퍼지기 때문에 가장 인기 있는 사람이 가장 빨리 감염될 수밖에 없다. 반대로 말하자면 그들에게 먼저 백신을 놓으면 적은 비용으로 계절성 독감에서 성병에 이르는 모든 질병을 효과적으로 예방할 수도 있다. 그래서 그들이 인기가 많을 수밖에 없다(이러한 결론에 씁쓸해하지는 말기를)!

―모든 순간에 수학이 있다
사람들은 수학과 아무 상관없이 살아가는 듯하지만, 수학은 어디에나 있다. 어디를 가든지, 무엇을 하든지, 늘 수호신처럼 자리한다. 그래서 이 책의 저자는 수학을 ‘수학님’으로 부르며, 우리 생활에서 떼려야 뗄 수 없는 밀접하고도 중요한 수학과의 관계를 이토록 친절하게 설명해준다. 수학은 교통을 합리적으로 운영하는 것에서부터 자신에게 꼭 맞는 데이트 상대 찾기, 온라인으로 안전하게 쇼핑하기, 잃어버린 물건 찾기까지 서로 관련 없어 보이는 영역을 근사하게 이으며 우리의 삶을 윤택하게 개선해왔다. 그래서 궁극적으로 수학은 ‘사람을 위한 도구’다. 인간의 직관과 한계를 명쾌한 논리로 바로잡으며 세상을 더 넓게 이해하는 통찰력을 제공한다.
하지만 이러한 과정을 이해하고 그 결과를 위대하게 만드는 일이 복잡해야 한다는 것을 의미하지는 않는다. 그래서 이 책을 즐기기 위해 수학 공식이나 이론을 알 필요는 없다. 일찍부터 수학을 포기한 사람이나 계산에 약한 사람도 문제없이 재미있게 읽을 수 있다. 이 책을 통해 수학과 가까워지는 시간을 가져보자. 지금까지 우리의 깊은 오해와 달리 수학이 지닌 진정한 가치와 즐거움은 무리수만큼이나 끝없이 펼쳐져 있다. 그리고 늘 우리의 모든 순간과 함께하고 있다.

현대 사회에서 알고리듬의 중요성은 과소평가할 수 없다. TV는 영상을 내보내는 알고리듬을 사용하고, GPS는 가장 짧은 경로를 찾는 알고리듬을 사용한다. 디지털 카메라는 사진을 처리하는 알고리듬을 사용하고, 신호등 역시 알고리듬을 사용한다. 병원, 발전소, 기차역, 비행기에서도 알고리듬을 사용한다. 일일이 열거할 수 없을 정도로 알고리듬을 사용하는 목록은 계속 늘어나고 있다. 알고리듬은 엄청난 양의 현대 세계를 지배하고 있으므로 지금 당신의 연애 생활에 연관돼 있다는 것이 놀라운 일은 아니다.
--p.55 「제2장_수학으로 사랑을 찾을 수 있을까?」중에서

페이스북은 실험 참가자들의 뉴스 피드에 있는 게시물이 그들의 행복 수준에 영향을 미치는지를 알아보기 위해 게시물을 조작했다. 어떤 이들에게는 행복한 느낌의 단어가 포함된 게시물을 줄였고, 또 어떤 이들에게는 슬픈 단어가 있는 게시물을 줄였으며, 다른 그룹은 통제 역할을 하기 위해 임의로 게시물을 삭제했다. 이 실험은 알려지지 않고 진행됐기 때문에 발표가 난 뒤 사람들은 강하게 불만을 표시했다. “어떻게 페이스북이 내 뉴스 피드를 조작할 수 있지?” 화가 난 사람들은 페이스북에 글을 올렸다. “내 감정은 통제될 수 없어!” 당연히 그렇다. 하지만 페이스북 사용자들은 실제로 어떤 형태의 조작도 거의 피할 수 없었다. 2006년이었다면 좀 더 쉬웠을 것이다. 페이스북이 뉴스 피드를 막 시작했을 때로, 하루 종일 개인에게 최적화된 맞춤 뉴스 목록을 제공했다. 마크 저커버그(Mark Elliot Zuckerberg)가 브리트니 스피어스(Britney Spears)를 선호 대상에 추가했다거나 당신이 반한 상대가 싱글이 되었을 때를 바로 알 수 있었다
--pp.60~61 「제3장_수학으로 행복해질 수 있을까?」중에서

이타적인 진화 방법에 관해 “왜 착해지려고 애쓰나?”라고 질문한다면, 나의 대답은 “당신이 너무 착하지만 않다면 훨씬 나은 결과를 얻을 수 있다”는 것이고, 팃포탯 전략은 친절함의 최적화 수준을 제공한다. 진화론적으로 말하자면 “남들에게 대접받고 싶다면 당신도 대접하라”는 이른바 황금률(Golden Rule)이 꽤 효과적이다. 게임 이론 이전의 생물학자들은 원숭이들의 등 긁기가 상호 이익으로 설명될 수 있다고 추측했지만, 수학자들은 그것을 사실로 증명했다.
--p.94 「제4장_사람들은 왜 당장 섹스를 하지 않을까?」중에서

디지털 세계에서는 개인의 세부사항을 명의자 외에 아무도 훔쳐보지 못하도록 암호화하여 안전하게 유지한다. 이런 일이 가능할 수 있었던 것은 현대 수학의 또 다른 위대한 승리다. 암호학의 기본 임무는 오직 의도된 수신자만 읽을 수 있는 메시지를 보내는 것이다. 수신자는 사람, 컴퓨터, 이동전화, 서버, 잠수함 등 모든 것이 포함될 수 있다. 문서를 읽을 수 없도록 메시지를 횡설수설하게 뒤집는 것을 ‘암호화’라고 하고, 수신자가 메시지를 읽을 수 있게 다시 뒤집는 것을 ‘해독’이라고 한다. 시저 암호의 가장 큰 문제점은 발신자와 수신자만 규칙을 알고 있다는 것이다. 만약 누군가가 메시지를 가로채 암호 규칙을 알게 된다면, 더는 같은 암호를 쓸 수 없기 때문에 처음부터 다시 설정해야 한다. 이럴 경우 발신자가 수신자에게 새 규칙을 보내려면 직접 만나 전달하거나(온라인 결제를 무용지물로 만들 수 있음) 암호화되지 않은 메시지로 암호를 전달해야 한다(위험에 노출될 수 있음).
--pp.141~142 「제7장_Yjq etgcvgf vjg ecguct ucncf?」중에서

일반적으로 예방 접종 프로그램의 목적은 ‘집단 면역’을 달성하는 것이다. 즉 많은 사람이 백신을 접종하고 바이러스(또는 질병)에 면역이 되면 사실상 바이러스가 퍼지지 않는다. (…) 어떤 이유로 인구의 약 30%만 면역시킬 수 있는 백신이 있고, 그 백신을 무작위로 배분해야 한다면, 집단 면역은 성공하지 못할 것이다. 하지만 무작위로 고른 사람들이 아닌 친구에게 백신을 접종하면 상황이 조금 달라질 수 있다. 우정의 역설이 설명한 것처럼 백신은 초기에 병에 걸릴 확률이 가장 높은 인기 많은 사람에게 전달될 것이다. 수학적으로 말하면 30%만 쓸 수 있는 백신이 있더라도 완전한 집단 면역을 이뤄낼 수 있다.
--pp.231~232 「제11장_내 친구는 왜 나보다 친구가 많을까?」중에서

서문_인간 VS 수학

제1장_탐색 이론
보물은 어디에 있을까?
제2장_알고리듬
수학으로 사랑을 찾을 수 있을까?
제3장_데이터
수학으로 행복해질 수 있을까?
제4장_게임 이론
사람들은 왜 당장 섹스를 하지 않을까?
제5장_분할
픽사는 원을 어떻게 그릴까?
제6장_확률
우연의 일치? 아닐지도!
제7장_암호학
Yjq etgcvgf vjg ecguct ucncf?
제8장_스포츠 데이터
수학으로 경기를 이길 수 있을까?
제9장_최적화
도로가 늘어나면 주행 시간이 줄어들까?
제10장_도시와 생물학
오이가 바람 문제를 해결할 수 있을까?
제11장_네트워크
내 친구는 왜 나보다 친구가 많을까?
제12장_벤포드의 법칙
우주가 가장 좋아하는 숫자는 무엇일까?

결론_인간 VS 수학 VS 세계
보너스 수학
감사의 말
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