문제를 해결하는 가장 쓸모 있는 생각

- “선생님, 사람들이 왜 수학을 배워야 하냐고 묻습니다.”
- “그에게 동전 한 닢을 줘라. 그는 수학으로 무엇인가를 얻어야 하기 때문이다.”

수학을 잘하는 사람들은 대체로 실생활에서 접하는 다양한 문제를 논리적으로 잘 해결한다. 어떤 사람이 ‘나는 학교 다닐 때 수학을 잘하지는 못했지만 주변의 문제는 논리적으로 해결할 수 있다’라고 주장한다면, 이미 그 사람은 자신도 모르는 사이에 수학적 생각을 잘하고 있는 것이다. 사람들은 대개 ‘수학’을 문제 풀이를 위한 도구쯤으로 생각하지만 수학은 ‘문제를 풀기 위한 도구’라기보다는 오히려 ‘문제를 찾기 위한 도구’에 가깝다. 고대 수학자 피타고라스도 수학으로 철학을 했으며, 그의 제자들에게 수학을 가장 먼저 배워야 할 과목으로 여겼다. 수로 이루어진 세상에서 수를 이해하고 파악하는 것이야말로 세상을 이해하는 길이라 생각했다.

세상의 규칙을 발견하고 설명하는 수학의 힘

수학적 생각을 해야 하는 또 다른 이유는 ‘세상을 합리적으로 보는 능력’을 기르기 위함이다. 우리가 당연하다고 생각하는 세상의 모든 일에는 변하지 않는 어떤 규칙이 숨어 있다. 규칙을 이치나 논리에 합당하게 설명할 수 있는 힘을 기르기 위해 우리는 수학을 공부한다. 예를 들면 아래의 질문에 답을 찾는 과정과 같다.

‘우리나라에서 치킨은 하루에 몇 마리 팔릴까?’

이에 대한 궁금증은 사업을 하고자 하는 사람들에게는 자료가 되고, 단순히 수를 계산하며 지식을 얻으려는 사람들에게는 즐거움이 된다. 이와 같은 계산은 ‘페르미 추정’으로 계산할 수 있는데, 치킨뿐 아니라 커피, 햄버거 등으로 대체해서 무한한 계산이 가능하다. 시카고대학교의 수학 교수였던 페르미는 학생들의 사고력을 기르기 위해 “시카고에 사는 피아노 조율사는 몇 명일까?”라는 문제를 냈고 학생들이 이 문제에 답을 못하자 5가지 가정을 세우고, 계산을 하고 추측 값을 냈다. 실제 값과 근사치에 가까우며 기초적인 지식과 논리적 추론을 통해 짧은 시간에 근삿값을 얻는 효율적 방식이었다. 페르미 추정으로 치킨의 판매량, 미용실의 수, 어떤 모임에 참석한 사람 수 등 많은 값을 낼 수 있고, 최근에는 ‘우리 은하에 외계 문명이 몇 개나 있는지’처럼 세기 어려운 수에도 적용하고 있다. 이와 같이 이 책에는 논리적이고, 재미있는 이야기로 가득하다.

수로 세상을 읽었던 피타고라스와 수학자들

피타고라스는 제자로부터 “친구란 어떤 관계입니까?”라는 질문을 받고, “친구란 또 다른 ‘나’이다. 마치 220과 284처럼”이라고 대답했다. 아인슈타인은 학생에게 “사람들 사이에 오가는 사랑도 방정식으로 표현할 수 있습니까?”라는 질문을 받고, Love \u003d 2□ + 2△ + 2● + 2V +8〈라는 방정식을 만들었다. 한국계 미국인 허준이 교수는 ‘조합 대수기하학’을 연구하며 40세가 되기 전에 11개의 난제를 증명하고 필즈상을 탔다. 그의 연구는 앞으로 100년 동안 IT와 인공지능 분야 발전에 영향을 미칠 예정이다. 현대수학을 이끈 독일의 수학자 힐베르트가 냈던 23개의 문제는 현대 과학 발전에 영향을 주고 있다. 『피타고라스 생각 수업』에는 이처럼 수로 세상을 보고, 많은 문제들을 해결해 온 여러 수학자의 이야기가 나온다. 그들이 어떻게 문제를 발견하고, 분석하고, 활용했는지에 대한 이야기를 재미있게 풀었다. 고대부터 지금까지 인류의 발전을 위해 많은 영향력을 끼쳐온 수학자와 그들의 생각을 들여다보며 우리도 세상을 바라보는 눈을 키우는 데 도움을 얻을 수 있을 것이다.

더 나은 삶을 위한 생각의 끈

이 책의 저자는 대학에서 수학을 가르치고, 이미 여러 권의 수학책을 집필한 수학자이다. 이번 책을 집필하며 ‘수학적인 생각을 하는 것은 우리 인생에 많은 도움을 주기에 그러한 생각을 나누고 싶었다’라고 말한다. 수학은 우리의 생각을 확장시키는 도구이며, 세상에 대한 이해를 돕는 도구이기 때문이다. 그리고 저자는 ‘생각의 끈’을 강조했다. 수학에서는 하나를 알아가는 과정으로 나머지를 연결해 알아가는 과정이 중요하기 때문이다. 읽다 보면 복잡한 생각을 하나로 묶는 끈을 여러 이론을 통해 발견할 수 있고, 생각을 짜임새 있는 틀로 자리 잡을 수 있는 방법을 발견할 수 있다. 읽으면 읽을수록 수학자들이 실생활의 여러 문제를 어떻게 합리적이고 논리 정연하게 해결하는지가 재미있게 보일 것이다.

수학에 쉽게 접근하지 못하는 사람들을 위해 일상생활의 예시와 쉬운 언어로 풀었다. 수학을 알아보고자 하는 초심자, 수학으로 생각하는 법을 알고 싶은 사람 등에게 이 책을 읽으며 의미 있는 시간을 갖기 바란다.

책 속에서

사람들은 대개 ‘수학’을 문제 풀이를 위한 도구쯤으로 생각합니다. 하지만 수학은 ‘문제를 풀기 위한 도구’라기보다는 ‘문제를 찾기 위한 도구’이고, 수학자는 ‘문제를 푸는 사람’이 아니고 오히려 ‘문제를 만드는 사람’입니다. 그래서 우스갯소리로 수학자를 ‘문제아’라고 부르기도 하지요.
--- p.17

수학을 잘하는 사람들은 대체로 실생활에서 접하는 다양한 문제를 논리적으로 잘 해결합니다. 어떤 사람은 ‘나는 학교 다닐 때 수학을 잘하지는 못했지만 주변의 문제는 논리적으로 해결할 수 있다’라고 주장한다면, 이미 그의 머릿속에서 자신도 모르는 사이에 수학적 사고가 일어나서 논리적으로 쉽게 해결하는 사람입니다.
--- p.51

음에 대한 수학적 분류를 오래 전 고대에 이미 했던 사람이 있습니다. 바로, 피타고라스입니다. 그는 사람들이 쉽게 음악을 연주하고 들을 수 있도록 음악적 체계를 세웠는데, 바로 ‘피타고라스의 음계’라고 알려진 ‘도, 레, 미, 파, 솔, 라, 시, 도’ 8음계입니다. 피타고라스는 음악의 가치를 귀하게 생각했습니다. 수학과 마찬가지로 사람들에게 자연의 구조를 볼 수 있게 하고, 몸과 마음을 정화시켜 우리의 육체와 영혼을 완벽하게 유지할 수 있다고 생각했지요. 피타고라스는 이성적으로 판단할 수 있도록 음악을 어떻게 체계화할 것이며, 정확한 소리를 내는 악기를 어떻게 만들지를 궁리했습니다.
--- p.77

허준이 교수의 ‘연결’과 ‘구조’에 대한 연구는 현대의 많은 기술이 통신과 네트워크, 복잡계 등과 연결되어 있기에 현대 사회에서 갖는 의미가 큽니다. 특히 오늘날 컴퓨터 연산, 인공지능, 빅데이터 등에 활용되는 알고리즘은 모두 조합론의 대표적인 응용 분야이므로 허준이 교수의 연구 결과에 영향을 많이 받을 것으로 예측됩니다. 허준이 교수의 연구 업적은 정보통신뿐 아니라, 반도체 설계, 교통, 물류, 통계물리 등 여러 분야에 밀접한 관련이 있어 파급효과가 크리라 기대됩니다.
--- p.91

가우스의 선생님은 자신이 잠깐 편하게 쉬기 위해서 학생들에게 어려운 수학 문제를 냈습니다. 1부터 100까지를 더하라는 덧셈 문제였지요. (…) 가우스는 선생님이 낸 문제에 일정한 규칙이 숨어 있다는 사실을 알았습니다. 즉 다른 학생들처럼 1부터 차례로 더하지 않고, 1과 맨 마지막 수인 100을 더하면 101, 다시 2와 99를 더해도 101, 3과 98을 더해도 101이라는 사실을 알았지요. 이와 같이 더하면 모두 50개의 101이 되므로 가우스는 1부터 100까지의 합은 50×101\u003d5,050이라고 아주 간단히 정답을 냈습니다. 바로 임의의 등차수열의 합을 구하는 공식을 유도할 때 사용하는 ‘등차수열의 대칭성’을 활용하여 문제를 해결했던 것이지요.
--- p.97

수학을 공부하면 문제를 해결하는 방법과 단순히 암기하는 머리가 아닌, 생각하고 이해하는 머리를 쓰는 훈련을 하게 됩니다. 즉, 우리는 수학으로 두뇌 훈련을 하지요. 학교에서도 두뇌 훈련 형식의 수학을 배우는데, 이때 수학은 학년이 올라갈수록 점점 숫자가 아닌 문자를 사용하는 수식으로 가득 차 있습니다. 수식을 이용하여 논리를 펴는 수학의 형식은 분야를 막론하고 사용되기 때문에 효과적으로 응용할 수 있습니다.
--- p.195

기억력, 주의력을 키우기 위해 피타고라스의 제자들은 아침에 눈을 뜨자마자 다음과 같은 경구를 읊었다고 합니다.

‘눈을 뜨자마자 해야 할 것은 오늘 해야 할 일을 차례대로 생각하는 것이다.’

그리고 잠들기 전에는 다음과 같은 경구를 암송하며 하루를 반성하고 잠이 들었다고 하지요.

‘오늘 자신이 한 일을 세 번 되돌아보기 전에는 눈을 감고 잠들지 말라. 잘한 일은 무엇이고, 잘못한 일은 무엇인가? 또, 끝내지 못한 일은 무엇인가?’
--- p.251

들어가며 _ 피타고라스는 왜 세상을 ‘수’라고 했을까

1장_ 문제에 대한 생각, 보이지 않는 것을 발견하기
01. 세상을 문제로 보는 시선 - 외판원 문제
02. 때로는 추측이 문제를 해결한다 - 페르미 추정
03. 옛것을 알아야 새것을 안다 - 온고이지신
04. 80억 개의 생각을 1로 만드는 능력 - 축소
05. 점, 선, 면을 넘어 n차원으로 - 확장
· 피타고라스의 생각 - 보이지 않는 세계를 잇는 다리

2장_ 논리에 대한 생각, 일상을 분석하기
06. 일상을 문제별로 분류하는 법 - 기호와 분류
07. 방탄소년단도 이용한 메타버스 - 비트맵과 웨이브
08. 천재 수학자 허준이의 생각 - 연결과 구조
09. 가우스처럼 논리적으로 생각하는 법 - 생각의 끈
· 피타고라스의 생각 - 깨우치는 사람에게 필요한 것

3장_ 창의에 대한 생각, 상상하고 질문하기
10. 자동차 번호판을 보고 하는 상상 - 배수
11. 별은 얼마나 밝게 빛날까 - 역제곱의 법칙
12. 병뚜껑에 숨어 있는 각도 - 약수
13. 바이오리듬은 진짜일까? - 최소공배수
14. 60갑자의 비밀 - 진법
15. 문제 속 숨은 공통점 찾기 - 배열
16. 반복이 무한하면 무엇이 될까? - 프랙털
· 피타고라스의 생각 - 수로 세상을 알아가는 법

4장_ 발명에 대한 생각, 발상을 전환하기
17. 짝을 이루는 생각의 발견 - 일대일대응
18. 위대한 숫자 0, '없음'의 발명 - 수
19. 곱하기를 나타내는 기발한 방법 - 곱셈
20. 공평함을 위한 수학적 생각 - 분수
21. 유클리드는 옳았고, 옳지 않았다 - 기하학
22. 오차 범위를 줄이는 법 - 작도
23. 아인슈타인의 사랑 방정식 - 위상수학
· 피타고라스의 생각 - 인생을 바꾸는 격언의 발견

5장_ 공부에 대한 생각, 기초에서 확장하기
24. 기초가 튼튼해야 완성된다 - 수리력
25. 개념만 알아도 반이다 - 계산능력
26. 수학은 어렵지 않다는 생각 - 추상화
27. 수학을 잘하는 의외의 방법 - 이해력
28. 하나를 알았다면 열이 보인다 - 규칙성
· 피타고라스의 생각 수학으로 철학을 했던 사람

6장_ 활용에 대한 생각, 수학자처럼 생각하기
29. 죄수의 딜레마와 치킨 게임 - 응용 수학
30. 이세돌이 알파고에게 진 이유 - 몬테카를로 탐색
31. 인구수를 예측하는 손쉬운 방법 - 지수함수
32. 평면을 완벽하게 채울 수 있을까? - 힐베르트 문제
33. 풀리지 않는 수학계 미제 사건 - 리만 가설
· 피타고라스의 생각 - 통합하고 적용하는 삶

나가며 _ 수로 세상을 읽을 때 꼭 필요한 생각