n차방정식의 해를 찾아 떠나는 수학 원리 여행
현대 대수학의 꽃, 갈루아의 군론을 만나다!

『미르카, 수학에 빠지다』(전 6권)는 일본 웹사이트에 연재되자마자 폭발적인 조회수를 기록한 수학 소설로, 20년이 지난 지금까지 청소년 수학 분야에서 장기 베스트셀러를 지키고 있다. 영어판 제목은 『Math Girls』이다.
수학을 통해 꿈을 이루어 가는 ‘나’, 수식의 원리를 꿰뚫어보는 수학 천재 미르카, 수포자가 될 뻔한 명랑 소녀 테트라. 세 고등학생은 괴짜 수학 선생님이 내 주는 수학 문제를 풀기 위해 방과 후 도서실이나 카페에 모여 머리를 맞대고 토론하며 수식을 풀어 나간다. 이들은 수학이라는 공통 관심사를 통해 실력을 쌓으며 점차 성장해 간다.

수학자들의 오랜 꿈은 방정식의 해를 푸는 것이었다. 그리스 시대에는 근의 공식을 얻어 1차, 2차 방정식의 해를 얻었고, 3차, 4차 방정식의 해도 16세기에 페로와 페라리, 카르다노에 의해 풀렸다. 하지만 5차 방정식 이상의 근의 공식은 200년 동안 나오지 못했다. 이를 해결한 인물이 십대의 갈루아였다. 갈루아는 고작 17살에 오랜 난제였던 5차 이상의 고등 다항식을 거듭제곱근의 해로 나타내는 필요충분조건을 밝혀냈고, 이 과정에서 군 개념을 창안해 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 증명했다. 갈루아 군론은 집합론을 태동시켰으며, 현대 대수학과 과학 발전에 절대적인 영향을 미쳤다.

『미르카, 수학에 빠지다』5권에서 주인공 ‘나’와 네 명의 소녀들은 갈루아가 근의 공식을 발견하게 되는 긴 여정을 추적한다. 수학 천재 미르카는 갈루아가 어떻게 군 개념을 이용해 추상 대수의 세계를 열어가는지 수학 원리 여행을 이끌어 간다. 특히 다섯 청소년들이 공감한 것은 갈루아의 불꽃같은 인생이다. 갈루아는 프랑스 혁명 시대를 산 공화주의 혁명가였다. 그는 자신의 군론을 담은 논문을 당대 수학자 코시와 푸리에, 푸아송에게 보내지만 외면당하고, 결투 전날 친구 슈발리에에게 전달한 후 생을 마감한다. 20세의 젊은 나이에 잠든 천재성은 결국 10년이 지나서 부활하게 된다.

등장인물들이 함께 모여 탐험하는 갈루아 이론 이야기를 통해서 독자들은 무한한 군론의 세계와 현대 수학을 연결 지으면서 수학 전체를 바라볼 수 있다. 또한 열정적으로 산 갈루아의 생을 돌아보며 수학자의 세계를 더 입체적으로 만날 수도 있다.

프롤로그 / 수학 공식처럼 풀기 어려운 청춘의 사랑

1. 네가 사랑한 사다리 타기
1. 사다리 꾸미기
양 끝 교환
2. 무궁무진한 사다리 타기
수 세기
유리의 궁금증
3. 순리대로 사다리 타기
스무디
둘도 없는 것
모든 패턴을 만들 수 있는가?
4. 우리가 사랑하는 사다리 타기
세로줄 3개
사다리 타기의 제곱
사다리 타기의 세제곱
그림 그리기
또 다른 수수께끼를 찾아서

2. 잠자는 숲속의 이차방정식
1. 제곱근
유리
음수×음수
복소평면
2. 근의 공식
이차방정식
방정식과 다항식
이차방정식의 근의 공식 도출
마음을 전하다
3. 근과 계수의 관계
테트라
근과 계수의 관계
4. 대칭식과 체의 시점
미르카
다시, 근과 계수의 관계
다시, 근의 공식
귀갓길

3. 모양 탐색
1. 정삼각형이라는 모양
병원
다시, 고열
꿈의 결말
2. 대칭군이라는 모양
도서실
군의 공리
공리와 정의
3. 순회군이라는 모양
휴게실
구조
부분군
위수
순회군
아벨군

4. 너와 멍에를 공유하며
1. 도서실
테트라
인수분해
수의 범위
다항식의 나눗셈
1의 12제곱근
정n각형
삼각함수
진로
2. 순회군
미르카
12개의 복소수
표 만들기
꼭짓점을 공유하는 정다각형
1의 원시 12제곱근
원분다항식
원분방정식
너와 멍에를 공유하며
3. 모의고사
시험장

5. 각의 3등분
1. 도형의 세계
유리
각의 3등분 문제
각의 3등분 문제에 대한 오해
자와 컴퍼스
‘작도 가능’이라는 말
2. 수의 세계
구체 사례
작도로 하는 사칙연산
작도로 하는 루트 계산
3. 삼각함수의 세계
나라비쿠라 도서관
리사
작별의 순간
4. 방정식의 세계
구조 파악하기
유리수로 몸풀기
한 걸음 또 한 걸음
다음 단계로 넘어갈까?
발견한 건가?
예상과 정리
진로는?

6. 천공을 떠받치는 것
1. 차원
불교 축제
4차원 세계
타코야키
떠받치는 것
2. 선형 공간
도서실
좌표평면
선형 공간
위의 선형 공간으로서의
위의 선형 공간으로서의 ()
확장의 크기
3. 일차 독립
일차 독립
차원의 불변성
확대차수

7. 라그랑주 분해식의 비밀
1. 삼차방정식의 근의 공식
테트라
빨간색 카드 ‘치른하우스 변형’
주황색 카드 ‘근과 계수의 관계’
노란색 카드 ‘라그랑주의 분해식’
초록색 카드 ‘세제곱의 합’
파란색 카드 ‘세제곱의 곱’
남색 카드 ‘계수에서 해로’
보라색 카드 ‘삼차방정식의 근의 공식’
여행 지도를 그리다
2. 라그랑주의 분해식
미르카
라그랑주 분해식의 성질
적용할 수 있는가
3. 이차방정식의 근의 공식
이차방정식의 라그랑주 분해식
판별식
4. 오차방정식의 근의 공식
오차방정식은?
5라는 수의 의미

8. 탑 쌓기
1. 음악
티 룸
만남
2. 강의
도서실
확장 차수
확대체와 부분체
( )/
퀴즈
(, )/
확장 차수의 곱
(+ )/
최소다항식
발견?
3. 편지
귀갓길
집
편지
작도 가능한 수
저녁식사
방정식의 가해성으로
최소분해체
정규 확대
진짜를 상대로

9. 마음의 형태
1. 대칭군 S2의 형태
나라비쿠라 도서관
분류
잉여류
깔끔한 형태
군 만들기
2. 표기법의 형태
옥시젠
치환 표기법
라그랑주의 정리
정규부분군의 표기법
3. 부분의 형태
외톨이
구조 탐구
갈루아의 고유 분해
C3을 더 나누기
나눗셈과 동일시
4. 대칭군 S4의 형태
베릴륨
5. 마음의 형태
아이오딘
소등 시간

10. 갈루아 이론
1. 갈루아 페스티벌
갈루아 연보
첫 번째 논문
2. 정의
가약과 기약 정의
치환군 정의
두 세계
3. 보조정리
보조정리 1: 기약다항식의 성질
보조정리 2: 근으로 만드는 V
보조정리 3: V로 근 나타내기
보조정리 4: V의 공액
4. 정리
정리 1: ‘방정식의 갈루아군’의 정의
방정식 2-3+2\u003d0
방정식 a2+b+c\u003d0의 갈루아군 -
갈루아군 만들기
방정식 3-2\u003d0의 갈루아군
정리 2: ‘방정식의 갈루아군’의 축소
갈루아의 실수
정리 3: 보조방정식의 모든 근을 첨가
정리 4: 축소한 갈루아군의 성질
5. 정리 5: 방정식을 대수적으로 풀기 위한 필요충분조건
갈루아가 던진 질문
‘방정식을 대수적으로 풀 수 있다’란
테트라의 질문
p제곱근의 첨가
갈루아의 첨가 원소
버둥거리는 유리
6. 두 개의 탑
일반 삼차방정식
일반 사차방정식
일반 이차방정식
오차방정식에는 근의 공식이 존재하지 않는다
7. 여름의 막바지
갈루아 이론의 기본 정리
전시 둘러보기
밤의 옥시젠
둘도 없이 소중한 것

에필로그 / 수학을 만든 천재 갈루아를 그리며
맺음말
감수의 글