다양한 수의 불가사의 성질
이 책은 다양한 수의 불가사의한 성질을 다루고 설명한다. 수의 이야기는 아주 사소한 주제로 시작해도 무한으로 확장할 수 있다는 점에서 대단히 매력적이다.
일례로 이 책에서도 한 장을 차지하는 ‘소수’를 살펴보자. 소수는 ‘2 이상 자연수 가운데 약수가 1과 자기 자신밖에 없는 수’이다. 구체적으로 ‘2, 3, 5, 7, 11, …… ’과 같은 수를 말한다. 여기까지는 누구나 아는 이야기이다.
그런데 이 소수에는 두 수의 차가 2인 소수 쌍이라는 ‘쌍둥이 소수’가 있다. (3, 5), (5, 7) 등이 그것이다. 그런데 소수가 무한하듯이 쌍둥이 소수 또한 무한할 것이라고 예상함에도 불구하고 아직까지 그 누구도 쌍둥이 소수가 무한하다는 증명에 성공하지 못했다. 쌍둥이 소수 문제는 수학사의 유명한 미해결 과제 중 하나이다.
이 책의 저자인 곤노 노리오는 수에 대한 미해결 과제부터 수의 역사에 얽힌 신비로운 이야기까지, 학교 수학 수업에서는 결코 들을 수 없었던 수에 관한 다양한 이야기를 들려준다. 현실과 동떨어진 이론적 수의 세계가 아닌 우리가 현실에서 만날 수 있고, 생각해볼 수 있는 수에 관한 이야기를 주제별로 짧고 이해하기 쉽게 썼기 때문에 수학과 별로 친하지 않은 초보들에게도 거부감 없이 읽힌다.

수의 세계가 보여주는 숫자의 신비
책은 크게 8개의 장으로 나눠 수의 세계를 설명하고 있다. 각 장의 끝에는 해당 장의 주제와 관련한 짧은 칼럼을 붙여 저자의 또 다른 시각을 보여준다.
저자는 수의 분류를 통해 자연수, 짝수와 홀수, 배수와 약수의 성격을 설명하고, 수의 세계에서 특별한 존재인 ‘0’의 탄생과 그 역할을 알아본다. 지금은 우리 곁에 너무나 자연스럽게 존재하는 ‘0’이 실은 자연수보다 늦게 태어났고, 세기의 시작이 1900년이나 2000년이 아닌 1901년이나 2001년일 수밖에 없는 이유도 이런 ‘0’의 늦은 탄생과 관련 있다는 사실은 흥미롭다. 그밖에도 소수, 약수, 도형수, 마방진, π(파이), 로그와 지수에 얽힌 이야기들도 저자의 표현대로 ‘밤하늘에 반짝이는 수많은 별들처럼’제 존재의 매력을 한껏 드러낸다.
저자가 펼쳐 보이는 수의 세계는 필경 독자들에게도 숫자의 신비를 통해 세계를 이해하는 또 다른 비밀의 문을 열어줄 것이다.

책속으로…

이런 무리수가 낯설 수도 있지만, 우리 가까이에도 무리수는 존재합니다. 예를 들어 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이는 √2입니다. 일상에서 찾아볼 수 있는 또 다른 무리수의 예로 원주율 π가 있습니다. 원주율은 많은 수학 분야에서 볼 수 있는 중요한 수이기 때문에 7장에서 더 자세하게 다루겠습니다.
지금으로부터 약 2500년 전, 피타고라스는 ‘만물은 수로 이루어져 있다’라고 말하며 이를 피타고라스학파의 슬로건으로 내세웠습니다. 다만 여기에서 말하는 ‘수’는 양의 유리수를 의미합니다. 이 수가 유리수로 한정된 이유는 피타고라스학파가 ‘만물의 조화는 음계音階의 조화에서 볼 수 있듯 자연수의 비율, 즉 양의 유리수에 의해 생겨난다’라고 믿었기 때문입니다. _<1-8. 분수로 나타낼 수 없는 수의 세계, 무리수>, -본문 26쪽

최초의 0은 ‘태양’을 나타낸다는 의미에서 ‘？(원)’으로 표시했습니다. 그리고
‘(점)’과 ‘？(파이)’를 지나 오늘날의 형태가 되었습니다. 0이 지금과 같은 모양을 한 것은 약 15세기 이후라고 추측합니다. 의외로 최근이라고 생각하는 분도 꽤 있지 않나요? 수학 역사 속에는 수없이 많은 중요한 발견들이 있지만, 0의 탄생만큼 수학 발전에 큰 공헌은 없습니다. _<2-1. 자연수보다 늦게 태어난 수, 0의 탄생>,
-본문 34쪽

GIMPS가 결성된 해인 1996년 11월 13일, 멤버 중 한 명인 프랑스의 조엘 아몬가드 Joel Armengaud가 35번째 메르센 소수를 발견했습니다. 이후 1997년 8월 24일 영국의 고든 스펜서Gordon Spence 가 36번째 메르센 소수를, 1998년 1월 27일 미국의 롤런드 클라크슨 Roland Clarkson이 37번째 메르센 소수를, 1999년 6월 1일 미국의 나이안 하지라트왈라 Nayan Hajratwala 가 38번째 메르센 소수를 각각 발견했습니다. 가장 최근에는 2018년 12월 7일, 패트릭 라로슈 Patrick Laroche 가 51번째 메르센 소수를 발견했습니다. 지금도 GIMPS에 참가하는 사람들의 탐색은 계속됩니다. 마치 매일 밤, 하늘을 바라보며 새로운 혜성을 찾는 사람들과 같은 것이지요._<3-9. 진심으로 소수를 사랑하는 사람들>, -본문 68쪽

‘약수 합에 주목하면, 또 다른 재미있는 특징을 가진 수가 있습니다. 그중 한 가
지가 친화수입니다. 예를 들어 a와 b라는 두 수가 있습니다. a의 약수 합이 b가 되고, b의 약수 합이 a가 되는 두 수를 친화수(의 쌍)라고 부릅니다.
친화수는 매우 희소합니다. 고대 그리스인도 (220, 284) 조합밖에 알지 못했을 정도입니다. 두 번째 친화수 조합은 1636년 페르마가 찾아내기 전까지 발견되지 않았습니다. 그 조합은 다음과 같습니다. (17296, 18416)_<4-5. 약수 합이 서로가 되는 두 쌍의 수, 친화수>, -본문 86쪽

사면체수는 어떤 집합에서 3개 원소를 추출한 조합 수와 같습니다. 이는 5-3에서 소개한 ‘어떤 집합에서 원소 2개를 꺼낸 조합 수와 같다’는 삼각수에 대응합니다. 원소 A, B, C로 이루어진 집합에서 3개를 추출하는 방법은 원소 전부를 그대로 꺼내기 때문에 한 가지밖에 없습니다. 그리고 원소 A, B, C, D 4개의 원소로 이루어진 집합에서 3개를 선택하는 방법은 ABC, BCD, ACD, ABD로 네 가지입니다._<5-7. 삼각수의 확장형, 사면체수>, -본문 110쪽

3차 육각마방진은 1910년 미국의 애덤스 Adams 라는 아마추어 수학자가 연구를 시작하여 1957년 겨우 발견했는데, 답을 작성한 종이를 잃어버려 육각마방진 일부를 알지 못하게 되었습니다. 하지만 그로부터 5년 후, 잃어버린 종잇조각을 발견하여 육각마방진을 완성했다는 에피소드가 있습니다. 이후 1963년 트리그 Trigg 가 육각마방진은 3차 이외에 존재하지 않는다는 사실을 증명했습니다. 그런 의미에서 3차 육각마방진은 매우 중요하다고 할 수 있습니다. _<6-8. 3차로만 존재하는 육각형, 육각마방진>, -본문 136쪽

그렇다면 사람들은 어떻게 원주율에 대해 생각하기 시작했을까요? 그 이유는 과거 나일강이 범람하여 홍수가 빈번하게 발생했기 때문입니다. 홍수로 인해 토지 경계를 알 수 없게 되는 사태가 빈발했습니다. 그래서 토지를 측량하는 사람들이 크게 활약했습니다. 그들은 토지에 말뚝을 세워 줄을 연결하고 그 줄 끝에 다른 나무막대를 연결했습니다. 오늘날 컴퍼스와 같은 도구를 만들어 모래 위에 원을 그린 것입니다. 이렇게 그린 원의 지름과 둘레를 비교하여 ‘둘레는 지름의 3배보다 조금 더 길다’라는 사실을 발견한 것입니다._<7-2. 원주율에 대한 최초의 기록>, -본문 142쪽

수의 세계를 조감하다
1 수를 분류하다
1-1 수의 탄생
1-2 자연수와 집합
1-3 음수
1-4 짝수와 홀수
1-5 배수와 약수
1-6 소수
1-7 유리수
1-8 무리수
1-9 소수
1-10 실수
Column 1 무리수를 암기하기 위한 언어유희

2 특별한 존재 ‘0’
2-1 0의 탄생
2-2 0이 중요한 이유
2-3 0은 어떻게 널리 퍼졌을까?
2-4 0 덕분에 간편해지다
2-5 서로 닮은 0과 공집합
2-6 수직선과 평면좌표
2-7 큰 수도 간단히, 0
2-8 우리 일상의 0
Column 2 ‘새로운 세기’의 시작은 약간 불완전하다?

3 소수, 신기한 성질과 다양한 가설
3-1 소수
3-2 소수는 무한히 존재한다
3-3 소수를 나타내는 방법
3-4 소수 쌍도 무한할까?
3-5 에라토스테네스의 체
3-6‘소수를 생성하는 공식’은 없다
3-7 메르센 수
3-8 메르센 소수는 무한할까?
3-9 진심으로 소수를 사랑하는 사람들
3-10 페르마 수
3-11 골드바흐의 추측
3-12 특이한 소수들
Column 3 1로만 이루어진 소수

4‘약수’로 본 여러 가지 수
4-1 부족수
4-2 과잉수
4-3 완전수
4-4 완전수는 모두 짝수일까?
4-5 친화수
4-6 드디어 모습을 드러낸 친화수
4-7 친화수와 관련된 추측들
4-8 사교수
4-9 기묘수
Column 4 아직 증명하지 못한 ‘3x + 1문제’