사칙연산에서 벡터와 미적분까지
수학의 본질을 이해하는 수학 기호 이야기

사칙연산처럼 우리가 아주 잘 아는 내용부터 처음 보는 어려운 공식까지 수학에 기호가 들어가지 않는 곳은 없다. 이미 알고 있는 부분은 ‘기호’에 초점을 맞춰 보면 더욱 흥미로울 것이고, 몰랐던 부분은 ‘기호’를 통해 좀 더 구체적으로 알아갈 수 있을 것이다. 왜 사칙연산에서는 ×와 ÷를 +나 보다 먼저 계산해야 할까? π가 왜 3.14…라는 원주율을 의미하게 되었을까? 왜 굳이 쉬운 덧셈을 계산하지 않고 ∑만 써서 나타내는 걸까? 고대 시대부터 오늘날에 이르기까지 수많은 수학자는 여러분에게 기호라는 선물을 마련해 놓았다. 이제 이 기호들을 받아 들고 수학의 바다로 항해를 떠나보자.
수학은 추상적이고 인문적인 요소가 많다. 수학에 유독 기호가 많이 등장하는 것도 추상적인 개념을 최대한 이해하기 쉽게 구체화하기 위해서다. 물론 낯선 기호가 등장하면 지레 겁을 먹거나 더 어려워하는 사람이 많지만, 사실 기호는 수학을 더 쉽게, 더 편하게 공부할 수 있도록 끊임없이 연구를 거듭한 결과물이다. 이 덕분에 몇몇 학자의 전유물이었던 수학이 일반 사람들에게도 전해진 것이다. 만약 수학 개념들을 기호 없이 말이나 글로만 설명한다면 지금까지 배운 시간과 노력의 10배를 들여도 그만큼 익히지 못할 것이다. 수학에 쓰이는 기호를 이해하면 수학의 본질에 훨씬 더 쉽고 편하게 다가갈 수 있다.



초등학교부터 대학교까지 배우는 수학 기호 100가지
기호를 알면 수학 법칙과 공식이 저절로 이해된다!

갑자기 수학이 어려워진 순간을 떠올려보라고 하면, 아마 많은 사람이 ‘sin’, ‘cos’, ‘tan’라는 기호로 대표되는 삼각함수를 생각하며 한숨을 내쉴 것이다. 물론 꽤나 복잡하고 체계적인 개념처럼 보이기 때문에 처음 삼각함수를 접한 중학생은 어려움을 겪는 것이 당연하다. 하지만 사실 삼각함수는 먼 옛날 고대 시대부터 쓰던 친숙한 개념으로, 원래는 해나 달, 별의 움직임을 관측하고 달력을 만들기 위해 쓰던 계산법이다.
sin이라는 용어는 라틴어 sinus를 줄인 말이다. 이 단어는 인도어로 ‘현의 절반’을 뜻하는 ‘아르도지바’에서 유래했는데 아랍어로 번역되면서 활 모양이라는 뜻의 ‘자이브’가 되었고 같은 뜻의 라틴어인 ‘시누스’가 되었다. 즉 sin은 원래 ‘활 모양의 현의 절반’으로 지금처럼 각이나 길이의 비가 아닌 길이 자체를 나타내는 기호였다. 이 사실을 알면 cos, tan와 헷갈리지 않고 sin이 무엇을 나타내는지 외우지 않아도 알 수 있다.
혹시 피타고라스의 정리를 기억하는가? 삼각함수에서 수학을 포기한 사람이라도 피타고라스의 정리는 어렵지 않게 외우고 익혔을 것이다. 간단히 말해 직각삼각형의 변의 길이에는 a2+b2\u003dc2와 같은 관계가 있다는 것인데, 사실 이 정리는 삼각함수 sin2x+cos2x\u003d1과 정확히 일치한다. 이 외에도 피타고라스의 정리만 제대로 배우면 삼각함수의 관계식 대부분을 쉽게 이해할 수 있다. 그러나 이 연결성을 이해하지 못하면 삼각함수에서 좌절을 맛보고 만다.
이처럼 수학 개념 사이의 다양한 관계와 정의를 직관적으로 이해할 수 있도록 연결하는 존재가 바로 기호다. 애초에 한번 보고 바로 이해할 수 있도록 고심해 만든 결과물이 바로 기호이기 때문이다. 낯설게만 느껴졌던 기호들을 다시 한번 관찰해 보면, 수학 법칙과 공식을 가장 쉽게 이해하는 지름길이 그 안에 숨어 있다는 것을 알게 될 것이다.

어려운 개념과 정리를 쉽게 풀어주는 수학 기호
더욱 깊이 있는 이해를 위한 수학 교양서

인간의 일을 AI가 대체해 가고 있는 오늘날, 수학의 필요성은 시간이 지날수록 점점 높아질 것이다. AI와 수학적 사고는 떼려야 뗄 수 없기 때문이다. 컴퓨터와 프로그래밍 언어, 개발 도구, 코드 등 현재 주목받는 가장 중요한 지식들은 모두 수학적 기반 없이는 세상에 존재할 수 없는 것들이다. 수학을 이해하지 못하면 수학을 기초로 한 학문을 아무리 공부해도 분명한 한계에 다다를 수밖에 없다. 깊은 수준의 이해를 위해서는 반드시 수학적 사고가 동반되어야 한다. 어쩌면 국어, 영어, 수학으로 대표되는 주요 과목에서 수학만 남게 될지도 모른다. 수학이라는 학문의 본질을 이해하고 언제든 써먹을 수 있도록 익혀두는 것이 그 무엇보다 중요한 이유다.
초등학교 수준의 수학부터 편미분 등의 대학 수학까지 가능한 한 다양한 난도를 아울러 많은 기호와 개념을 담았다. 수학 개념을 제대로 알아보고 싶은 학생이나 한 번 더 수학에 도전해 보고 싶은 사람에게는 특히 많은 도움이 되리라 믿는다. 물론 단순한 지적 호기심이나 흥미를 목적으로 책을 접해도 좋다. 수학뿐 아니라 모든 분야와 영역에서 ‘기호의 바다’에 빠져 살고 있는 오늘날, 가장 역사가 깊고 활발하게 사용되는 수학의 기호를 익혀보는 것만으로도 다양한 학문에 대한 이해를 높이고 수학적 사고력과 감각을 키울 수 있을 것이다.

머리말

제1부 학교에서 배우는 수학 기호
01 +, - : -(-1)은 왜 1인가
02 ×, ÷ : 1은 깔끔하지만 0.999…는 불안해
03 ∞ : 무한이라는 마법
04 % : 편하게 계산하고 싶다면
05 √ : 모자도 아닌 것이, 국자도 아닌 것이
06 π : π 덕분에 부자가 된 파이 가게
07 sin, cos, tan : 하늘에서 땅으로 내려온 삼각형
08 In, log : 줄이고, 바꾸고, 뒤집어라
09 e : 오일러라고 쓰고 네이피어라고 부르다
10 i : 수학에 힘을 불어넣은 거짓말
11 ∑ : 게으름뱅이를 위한 선물
12 lim : 까다로운 친구와 잘 지내는 법
13 dy/dx : 미분의 성장 과정
14 ∫ : 티끌 모아 인테그럴
15 △, ▽ : 모양이 곧 의미인 기호
16 ∽, ∝ : 닮음은 반복된다
17 ⊥, ∠, : 삼각형의 내각의 합은 항상 180°일까?
18 ∴, ∵, iff, ⇔ : 성장의 흔적을 남기다
19 ( ), { }, [ ] : 400년 전통, 끼우기의 달인
20 !, nCm, nPm : 눈 깜짝할 새의 수학

제2부 대학에서 배우는 교양 수학 기호
21 N, R, Z, Q, C : 숫자를 어디서 끊어야 할까
22 〓, ~, ≡ : 분명히 같지만 확실히 다르다
23 ≤, < : 수학 불평등 기원론
24 ⊂, ⊆ : 수학의 전설이 시작된 기호
25 ∩, ∪ : 둘 다이거나 둘 중 하나이거나
26 ∈, ∀, ∃ : 익숙해지면 편리한 기호들
27 f:X→Y : 일대일 대응이란?
28 숫자의 농도
29 ∧, ∨, ￢, → : 햄릿이 이 기호를 알았더라면
30 ε, δ : 골칫덩어리 ε－δ 논법
31 max, min : 크고 작은 것에도 여러 가지가 있다!
32 ex, exp : 수학의 울트라맨
33 sinh, cosh, tanh : 쌍곡선이란 무엇인가
34 sgn : 사다리 타기에서 행렬식으로
35
| a b |
| c d | : 연립방정식 단번에 풀기
36 rank : 수학에도 랭킹이 있다?
37 dim : 4차원을 찾아라
38 Im, Ker : 모든 것은 0이 지배한다
39 tA, A*, trA : 보기 좋은 떡이 먹기도 좋다

제3부 고난도 수학 : 기호로 이해하는 편미분
40 d(P, Q) : 거리가 꼭 길인 것은 아니다
41 A, A, ∂A : 현대 수학으로 들어가는 문
42 δx : 믿기 힘든 함수
43 · : 일의 양을 알 수 있는 편리한 내적
44 × : 공간으로 익숙한 외적
45 i, j, k : 실수 다음 허수, 허수 다음은 무슨 수?
46 ∂/∂x : 이제 편미분은 무섭지 않아
47 ∂(f, g)/∂(x, y) : 다변수 적분의 비결
48 ∫c : 선적분은 어떤 적분일까
49 ∬ : 이중 적분이란
50 grad, ∇ : 우리나라 경제는 바닥이 없는 늪?
51 div : 수학적으로 흐름을 보는 법
52 rot, curl : 그래도 지구는 돈다
53 Γ(s) : n!을 확장하면 어떻게 될까

부록 : 그리스 문자 용례 사전
참고 문헌