수학을 좋아하기 위해 반드시 필요한 마음의 습관
이런 사람들과 반대로 혹시 수학인(Math person)이라는 말을 들어본 적이 있을까? 수학인이란 누구일까? 사실, 우리는 누구나 수학인이 될 수 있다. 수학인들이 수학을 즐길 수 있었던 이유는 무엇일까? 과연 수학을 좋아하고, 잘 하기 위해서는 어떤 마음의 습관(Habits of mind)이 필요한 것일까? 답은 바로 ‘수학자처럼 생각하는 방법’을 아는 것이다. 즉, 수학인으로 보였던 사람들은 수학자처럼 생각하는 방법을 배웠다는 뜻이다.
이 책은 누구나 ‘수학자처럼 생각하는 방법’을 배울 수 있고, 또 배워야 한다고 설득할 것이다. 또한 수학자들이 마음의 습관을 어떻게 사용하는지 배울 것이다. 그러나 미리 걱정부터 할 필요는 없다. 이 책은 수학 교재가 아니라 오히려 자신의 뇌를 훈련시키는 방법을 제공하기 때문에, 문제 풀이가 아니라 ‘수학자의 마음가짐’으로 문제에 접근할 것이기 때문이다.

수학은 예술이다!
많은 수학 교육자들은 학교에서 가르치는 수학 교수법을 개혁해야 한다고 강하게 주장해 왔다. 2009년 수학 교사 폴 록하트(Paul Lockhart)는 『수포자는 어떻게 만들어지는가(A Mathematician’s Lament)』(한국어판 박용현 옮김, 철수와영희 펴냄)에서 수학이 음악이나 미술과 유사한 예술 형태임이 분명하지만 그렇게 인식하지 못한다고 탄식했다. 그는 아이들이 지닌 자연스러운 호기심과 규칙성을 찾고자 하는 마음을 없애는 데 지금의 수학 지도법보다 더 강력한 방법은 없을 거라 비판하며, 현재 수학 교육 방법은 무의미하며 학생들의 영혼을 파괴하는 방식이라 주장했다.
록하트는 수학 교육을 음악 교육에 비유하면서, 학교에서 음악시간에 음표, 박자 등 여러 규칙을 외우지만 인생의 후반까지 음악을 잘 감상하지 못하는 것과 수학 교육이 유사하다고 언급한다. 수학을 싫어했던 많은 사람들도 수학이 ‘진짜’ 무엇인지 알았다면 수학을 좋아했을 것이다. 우리는 주변에서 “음악요? 아, 그냥 지루해요. 저는 음악인이 아니에요. 음악 포기했어요.”라고 말하는 사람을 거의 본 적이 없는 것처럼 말이다.

8가지 수학적 실천 규준
수학 교육학계에서는 ‘수학적 사고’를 가르치는 것이 무엇을 의미하는지 명확히 설명하기 위해 2010년 ‘Common Core State Standards for Mathematics(CCSSM)’를 처음 발표하고 8가지 수학적 실천 규준(Standards for Mathematical Practices(SMPs))을 제시하였다. 8가지 수학적 실천 규준은 다음과 같다.

문제를 이해하고 끈기 있게 풀기
추상적으로, 정량적으로 추론하기
실행 가능한 주장을 구성하고 다른 사람의 추론을 비판하기
수학으로 모델링하기
적절한 도구를 전략적으로 사용하기
정확성에 주의를 기울이기
구조를 찾고 활용하기
반복된 추론에서 규칙성을 찾고 나타내기

이 실천 규준을 따르면, 모두 수학자처럼 생각할 수 있다. 수학자들은 논리를 사용하고, 패턴을 찾고, 추상적으로 추론하고, 어려운 문제에 직면했을 때 포기하지 않고 오히려 이 문제를 해결하기 위해 인내한다. 한눈에 봐도 수학자처럼 생각하는 것이 개인적으로 그리고 사회적으로 얼마나 도움이 되는지 쉽게 알 수 있을 것이다. 즉, 수학적 실천 규준은 단순히 수학 실력 향상만이 아니라 21세기를 대비한 모두의 필수적인 역량이다.

수학자에[게 베우는 문제 해결 능력
미래에 필요한 역량은 학교에서 전통적으로 배워 온 기술과는 분명히 다르다. 우리는 문제 해결 능력이 반드시 필요하다. 우리는 자신이 직면한 알 수 없는 많은 도전들을 해결하기 위해 문제 해결 기술이 필요하다. 이러한 기술에 가장 잘 훈련될 수 있는 두뇌의 소유자는 바로 수학자이다. 우리가 수학자들의 이러한 모습으로부터 힌트를 얻는다면, 독자 여러분도 미래의 도전에 분명히 대처할 수 있을 것이다. 누구나 수학자들이 어떻게 생각하는지 배우고, 그 기술들을 연습함으로써 자신의 뇌를 훈련시킬 수 있다.

수학적 마음의 습관 기르기
더 나은 패턴 탐정가 되기
확률적으로 실험하기
수학 언어로 설명하고 말하기
틴커링
발견하기
시각화하기
예측하기

수학 언어를 이해하고 실험하고 토론하기
일반인과 수학자의 가장 큰 차이점은 수학자들은 수학 언어(Language of Mathematics)를 잘 안다는 점이다. 우리가 방정식을 풀고, 문장제 문제를 해석하는 데 쓰는 모든 시간은 주변의 수학적 현상을 이해하기 위한 연습이다. 수학은 정보를 제공하기 위해 기호뿐 아니라 그래프와 같은 이미지를 함께 사용하는 시각적 언어이기도 하다. 만약 여러분이 학교에서 수나 그래프를 배울 때 어렵다고 느끼거나 변수와 방정식에 겁을 먹고 있다면, 수학은 우리 세계를 대표하는 언어라는 것을 기억해야 한다. 수학은 모호하거나, 학생들을 혼란스럽게 하려고 만들어진 것이 아니다. 오히려 주변 세상을 더 잘 이해하도록 도울 수 있는 정보를 전달하는 방법이다. 또한 수학자들은 실험하는 것을 두려워하지 않을 뿐 아니라, 아이디어가 형식적으로 갖추어지기 전에 그 아이디어를 확인하는 것 또한 두려워하지 않는다. 수학자들은 토론을 통해 더 깊은 이해가 이어진다는 것 역시 잘 알고 있다.

분해하고 결합하기, 실패를 통해 배우기
어렸을 때 볼펜이나 샤프 같은 물건의 작동 원리가 궁금해 그 물건을 분해해 본 적이 있을 것이다. 이런 경험이 있었다면 틴커링(Tinkering)의 가치를 아는 것이다. 수학자들도 틴커링 없이 무언가를 발견할 수 없는데, 이때 틴커링이란 작은 부분으로 분해하고 다시 결합하기를 뜻한다. 특히 틴커링은 학교에서 인기가 높은데, 교육자들은 암기보다 틴커링이 학생들의 이해를 돕는다고 강조한다.
수학 시간에 틴커링, 즉 작은 부분으로 분해하고 다시 결합하기가 가능한지 구체적인 예를 살펴보자. 초등학교 선생님들은 어린 아이들이 수 감각(숫자 감각)과 자릿값을 이해하도록 돕기 위해 ‘수 가르기’ 또는 ‘수 모으기’ 내용을 지도한다. 예를 들어, 13 더하기 8에서, 초등학교 1학년 학생은 13을 10과 3으로 분해하는 방법을 배운다. 동시에 13에 8을 쉽게 더하기 위해 8을 어떻게 분해하면 좋을지 생각하며 작은 수로 가르고 다시 모아보는 활동을 한다.
그러나 어른이 되면, 비수학자인 우리는 수를 틴커링하는 걸 주저한다. 특히 수학 시간에 무엇을 배우든지 정답이어야 한다고 배웠기 때문에 다른 사람들 앞에서 계산을 틀리게 하거나 잘못된 계산 결과를 말하는 것 등을 두려워한다. 하지만, 비단 수학 문제뿐만이 아니라 이런 방식으로 삶에 접근한다면, 무언가를 배우거나 발전할 것이라 기대하기 어렵다. 모든 실패는 우리에게 무언가를 가르쳐 준다. 만약 자신이 알고 있는 것만을 고수하고 새로운 것을 배우기 두려워한다면, 절대로 배우거나 성취할 수 없을 것이다.

알고리즘을 이해하고 사용하기
알고리즘의 가장 중요한 측면은 알고리즘을 사용하는 사람이 이 알고리즘을 이해하고 문제 해결에 적용할 수 있냐는 점이다. 즉, 알고리즘을 사용하는 것은 문제를 훨씬 효과적으로 해결하기 위한 전략이다. 예를 들어, 매번 문제를 해결할 때마다 새로운 풀이 방법을 찾으려고 노력하는 것보다, “아, 저는 이 문제를 어떻게 풀이하는지 알아요. 이 단계(알고리즘)에 맞추어 풀면 답이 나와요.”라고 반응할 수 있다. 수학자처럼 생각하고 싶다면, 알고리즘에 따라 무조건 문제를 풀이하는 것보다는 알고리즘을 이해하고 발명해야 한다. 알고리즘은 학교에서 배운 수학보다 훨씬 더 많은 것에 적용될 것이다. 컴퓨터 프로그래밍과 과학, 요리법, 광고, 심지어 온라인 데이트에까지 기초적인 역할을 한다.
알고리즘을 발명하려면, 먼저 무슨 일이 일어나고 있는지 천천히 관찰해야 한다. 문제 해결 과정을 이해하기 쉽도록 더 작은 부분으로 나누어 검토한다. 그런 다음 자신이 이해할 수 있는 순서로 다시 정리하고 다른 날에도 이 순서를 반복한다. 각 단계를 이해하고 이 단계들을 다시 수행하여 자신이 발명한 과정을 보다 효율적으로 만들 수 있다면, 드디어 알고리즘 하나를 만든 것이다. 수학자들은 모두 효율적이다. 항상 지름길을 찾고 있다는 의미이다. 이처럼 수학자들은 현상을 관찰하고, 패턴을 찾고, 더 효율적인 방법을 찾는다. 즉, 알고리즘적으로 사고한다.

1장 수학적 마음 습관 기르기
2장 패턴 탐정가 되기
3장 확률적으로 실험하기
4장 수학 언어로 설명하고 말하기
5장 분해하고 다시 결합하기
6장 알고리즘을 이해하고 사용하기
7장 내면에 있는 것을 구체화하기
8장 어림하여 예측하기
9장 수학이 바꾼 세상 이야기
10장 나가는 말

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