PART1 소개(Introduction)
제1장보험 계리 모형과 통계적 방법 3

PART2 통계적 모형(Statistical Model) 김명준 저
제2장통계이론의 이해 9
1. 확률 변수(Random Varialble)와 확률 분포(Probability Distribution) 9
1.1 이산형(Discrete) 확률 변수와 분포 함수 ㆍ 12
1.2 연속형(Continuous) 확률 변수와 분포 함수 ㆍ 13
1.3 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function) ㆍ 15
1.4 결합 확률 분포 함수(Joint Probability Distribution Function) ㆍ 18
1.5 두 변수간의 독립(Independence) 개념 ㆍ 22
1.6 확률 변수의 대표적인 요약 값 ㆍ 23
2. 주요 확률 분포 함수 33
2.1 이산형 확률 분포 ㆍ 33
2.2 연속형 확률 분포 ㆍ 44
3. 적률(Moment Generating) 함수 58
3.1 확률 분포 함수의 활용 ㆍ 64
연습문제 ㆍ 67
제3장손해 분포 모형의 이해: 빈도, 심도, 집합 70
1. 사고 빈도(Frequency) 모형 71
1.1 경험적 확률을 활용한 빈도 모형 ㆍ 71
1.2 베르누이 분포를 활용한 빈도 모형 ㆍ 71
1.3 이항 분포를 활용한 빈도 모형 ㆍ 72
1.4 포아송 분포를 활용한 빈도 모형 ㆍ 73
1.5 음이항 분포를 활용한 빈도 모형 ㆍ 76
1.6 특별 형태의 분포를 활용한 빈도 모형 ㆍ 80
2. 사고 심도(Severity) 모형 85
2.1 경험적 확률을 활용한 심도 모형 ㆍ 85
2.2 정규 분포를 활용한 심도 모형 ㆍ 86
2.3 감마 분포를 활용한 심도 모형 ㆍ 89
2.4 파레토 분포를 활용한 심도 모형 ㆍ 91
2.5 기타 분포를 활용한 심도 모형 ㆍ 92
3. 총합 손해(Aggregate Loss) 모형 93
3.1 지시 함수(Indiaction Function)를 활용한 총합 손해 모형 ㆍ 94
3.2 집단 위험 모형(Collective Risk Model) ㆍ 95
3.3 개별 위험 모형(Individual Risk Model) ㆍ 97
연습문제 ㆍ 100
제4장경험적(Empiric) 추정 방식의 이해 102
1. 통계적 추정(Statistical Estimation) 방식의 이해 102
1.1 점 추정(Point Estimation) ㆍ 102
1.2 구간 추정(Interval Estimation) ㆍ 106
1.3 가설 검정(Hypothesis Test) ㆍ 110
1.4 선형 회귀 모형을 이용한 가설 검정 ㆍ 124
1.5 범주형 자료의 적합도 검정 ㆍ 130
2. 경험적 분포(Empirical Distribution) 132
2.1 개별적(Individual) 자료의 경험 분포 및 추정 ㆍ 132
2.2 그룹화된 자료의 경험 분포 및 추정 ㆍ 136
연습문제 ㆍ 138
제5장모수적(Parametri) 추정 방식의 이해 140
1. 최대 우도 추정 방식(Method of Maximum Likelihood Estimation, MLE) 140
1.1 적률 함수 추정 방식(Method of Moments Estimation, MME) ㆍ 140
1.2 최대 우도 추정 방식(Method of Maximum Likelihood Estimation, MLE) ㆍ 141
2. 베이지안 추론(Bayesian Estimation) 143
2.1 조건부 확률(Conditional Probability) ㆍ 143
2.2 상호 배반(Mutually Exclusive)과 전 확률(Total Probability) ㆍ 145
2.3 베이즈 이론(Bayes Theorem) ㆍ 146
2.4 통계적 추론과 베이지안 추론의 이해 ㆍ 148
2.5 베이지안 추론의 구성 ㆍ 149
2.6 사전 분포(Prior Distribution) 및 추론 ㆍ 151
연습문제 ㆍ 157

PART3 손해보험의 기본이론 강계욱 저
제6장신뢰도 이론(Credibility Theory) 161
1. 신뢰도 평가법 163
1.1 고전적 신뢰도(Classical Credibility) ㆍ 163
1.2 뷜맨 신뢰도(B?hlmann Credibility) ㆍ 178
1.3 고전적 신뢰도와 뷜맨 신뢰도의 비교 ㆍ 193
2. 베이지언 분석(Bayesian Analysis) 195
3. 보충 신뢰도 방법 199
3.1 원수보험부분의 보충신뢰도 방법 ㆍ 200
3.2 초과보험부분의 보충신뢰도 방법 ㆍ 204
연습문제 ㆍ 210
제7장다변량 분석(Multivariate Analysis) 219
1. 단변량 분석(One-Way Analysis) 220
2. 최소편차 접근법 222
3. 다변량 분석(Multivariate Analysis) 226
3.1 다변량 방법의 장점 ㆍ 227
3.2 GLM ㆍ 228

PART4 손해보험 요율산정과 책임준비금 산정(Ratemaking and Loss Reserving) 강계욱 저
제8장손해보험 요율산정의 기본원리와 구조이해 246
1. 요율산정의 원리와 목표 246
1.1 필수적 목표 ㆍ 247
1.2 이상적 목표 ㆍ 248
2. 손해보험 요율산정의 기본 용어 249
2.1 익스포저(Exposure, 위험단위) ㆍ 249
2.2 보험료(Premium) ㆍ 249
2.3 보상(Claim) ㆍ 250
2.4 손해액(Loss) ㆍ 250
2.5 손해사정비(Losses and Loss Adjustment Expenses) ㆍ 251
2.6 사업비(Underwriting Expenses) ㆍ 252
2.7 영업손익(Underwriting Profit or Loss) ㆍ 252
3. 손해보험 요율산정의 기본공식 252
3.1 사고빈도(Frequency) ㆍ 253
3.2 사고심도(Severity) ㆍ 254
3.3 순보험료(Pure Premium or Loss Cost) ㆍ 255
3.4 평균보험료(Average Premium) ㆍ 256
3.5 손해율(Loss Ratio) ㆍ 256
3.6 손해사정비율(LAE Ratio) ㆍ 257
3.7 사업비율(Underwriting Expense Ratio) ㆍ 257
3.8 합산비율(Combined Ratio) ㆍ 258
3.9 갱신율(Retention Ratio)과 유지율(Persistence Ratio) ㆍ 258
3.10 신계약체결율(Close Ratio, Hit Ratio, Quote Ratio, Conversion Rate) ㆍ 259
4. 요율산정 데이터 259
4.1 계약 데이터베이스 ㆍ 260
4.2 보상 데이터베이스 ㆍ 260
4.3 회계상 정보 ㆍ 261
4.4 데이터 집합 ㆍ 261
4.5 데이터 선택시 고려사항 ㆍ 267
제9장익스포저와 보험료 268
1. 익스포저의 구조와 이해 268
1.1 익스포저 기본 단위 선택의 조건 ㆍ 268
1.2 익스포저 데이터 집합 ㆍ 270
1.3 익스포저의 종류 ㆍ 272
2. 보험료의 구조와 이해 279
2.1 보험료 집합방법 ㆍ 281
2.2 보험료의 종류 ㆍ 283
2.3 보험료 데이터 수정 ㆍ 292
연습문제 ㆍ 318
제10장손해액과 손해사정비 320
1. 손해액의 정의 321
2. 손해액 데이터의 집합방법 322
2.1 달력연도(CY) 데이터 집합 ㆍ 322
2.2 사고연도(AY) 데이터 집합 ㆍ 323
2.3 계약연도(PY) 데이터 집합 ㆍ 324
2.4 보고연도 데이터 집합 ㆍ 327
3. 손해액에 관련된 보험공식 328
3.1 사고빈도 ㆍ 328
3.2 사고심도 ㆍ 328
3.3 순보험료 ㆍ 328
3.4 손해율 ㆍ 329
4. 손해액의 수정 329
4.1 예외적인 손해액의 수정 ㆍ 329
4.2 손해액 진전(Loss Development) ㆍ 340
4.3 손해액 추이(Loss Trend) ㆍ 347
4.4 손해액 진전과 추이의 중복 가능성에 대한 논의 ㆍ 355
5. 손해사정비 356
연습문제 ㆍ 359
제11장최종 요율 결정과 보장범위 조정 362
1. 사업비 362
1.1 손해율 방식의 목표 손해율 ㆍ 363
1.2 순보험료 방식의 사업비 분류 ㆍ 365
1.3 사업비 추이(Expense Trend) ㆍ 366
2. 목표 손익 368
2.1 투자이익 ㆍ 368
2.2 영업이익 ㆍ 369
3. 최종 요율 결정(Overall Rate Indication) 369
3.1 순보험료 방법 ㆍ 370
3.2 손해율 방법 ㆍ 370
3.3 요율변수의 조정률 적용 ㆍ 372
3.4 순보험료 방법과 손해율 방법의 차이점 ㆍ 373
3.5 불균형 요율(off-balance)의 수정 ㆍ 374
4. 보장 범위 조정 385
4.1 자기부담금(Deductible) ㆍ 385
4.2 보상한도와 보상한도계수 ㆍ 390
연습문제 ㆍ 400
제12장책임준비금 산정 405
1. 책임준비금의 구성과 정의 406
1.1 미경과보험료 준비금 ㆍ 407
1.2 지급준비금 ㆍ 409
2. 삼각형 형태에 의한 지급준비금 산출 413
2.1 지급보험금 진전추이방식 ㆍ 414
2.2 발생손해액 진전추이방식 ㆍ 418
2.3 사고건수 진전추이방식 ㆍ 421
2.4 평균 지급보험금 예측방식 ㆍ 426
2.5 평균 발생손해액 예측방식 ㆍ 428
3. 특별한 목적에 의한 지급준비금 산출방법과 이해 431
3.1 개별추산액 진전방법 ㆍ 432
3.2 본휴더-퍼거슨 방법 ㆍ 442
4. 지급준비금 산출 관련 기타 고려사항 447
연습문제 ㆍ 458

PART5 리스크 측정(Risk Measure)
제13장리스크 측정과 VaR 465
1. 서론 465
2. Value at Risk(VaR) 466
2.1. 단순한 모형에서의 VaR ㆍ 466
3. 조건부 테일 기댓값(Conditional Tail Expectation) 468
3.1 VaR과 조건부 테일 기댓값의 비교 ㆍ 469
3.2 조건부 테일 기댓값 ㆍ 469
4. 극단치 이론(Extreme Value Theory) 471
4.1 기본이론 ㆍ 473
4.2 초과치의 분포 ㆍ 477
연습문제 ㆍ 479
제14장통합리스크 관리 480
1. 서론 480
2. 보험회사의 RBC 요구자본 산출 481
2.1 개별리스크 산출 ㆍ 482
3. 통합리스크 산출 방법 486
3.1 서론 ㆍ 486
3.2 분산공분산 방법 ㆍ 487
3.3 코퓰라함수(Copulas) ㆍ 492
4. SolvencyⅡ 504
4.1 경제적 요구자본(Economic Capital) ㆍ 505
4.2 Solvency II와 지급능력 요구자본(SCR) ㆍ 505
4.3 지급능력 요구자본 산출 표준모형 ㆍ 506
4.4 Solvency II의 보험부채평가 원칙 ㆍ 508
4.5 RBC 제도와의 비교 ㆍ 509
5. IFRS 17 517
5.1 측정모형의 개요 ㆍ 517
5.2 측정모형의 구성요소 ㆍ 518

PART6 확률 모델(Stochastic Model)
제15장확률과정(Stochastic Process) 525
1. 서론 525
2. 확률과정의 정의와 기본정리 526
3. 평균과 공분산 528
4. 확률과정의 분류 528
4.1 정상성 ㆍ 529
4.2 독립 증분와 정상 증분 ㆍ 529
4.3 독립 정상 증분과정의 예 ㆍ 530
4.4 집계과정(Counting Processes) ㆍ 531
5. 보험과 금융분야에서의 확률과정 533
5.1 보험분야에서 나타나는 확률과정의 예 ㆍ 533
5.2 금융분야에서 나타나는 확률과정의 예 ㆍ 537
연습문제 ㆍ 542
제16장마르코프 과정(Markov Process) 544
1. 서론 544
2. 마르코프 과정의 정의와 기본정리 544
3. 마르코프 연쇄(Markov Chain) 545
3.1 전이 행렬 ㆍ 546
3.2 챔프만-콜모고로프 방정식 ㆍ 546
4. 마르코프 비약과정 552
연습문제 ㆍ 558
제17장시뮬레이션(Simulation) 560
1. 서론 560
2. 의사난수 생성 560
2.1 의사난수로 정적분값 구하기 ㆍ 561
3. 이산변수 생성 562
3.1 역변환 방법(Inverse Transform Method) ㆍ 563
3.2 포아송 확률변수 생성 ㆍ 564
4. 연속변수 생성 565
4.1 역변환 알고리즘 ㆍ 565
4.2 포아송 분포 생성 ㆍ 567
5. 몬테 카를로 시뮬레이션을 이용한 위험측도 추정 567
5.1 서론 ㆍ 567
5.2 VaR 측도 추정 ㆍ 568
5.3 CTE 측도 추정 ㆍ 571
연습문제 ㆍ 573

부록1정규분포표 575
부록2빈도/심도 통계 분포 576
연습문제풀이 및 해답 579
참고문헌 590

[머리말]
보험 선진국에서는 계리적인 측면을 생명보험과 손해보험 분야로 명확히 구분한다. 미국의 예를 들면 생명보험은 SOA(Society of Actuaries)라는 기관에서 손해보험은 CAS (Casualty Actuarial Society)라는 기관으로 구분하여 해당 계리영역에 대한 계리사 자격시험을 독립적으로 주관, 감독할 뿐만 아니라 학문적인 이론과 실무의 연구기관으로 운영되고 있다. 이에 반해, 아직 국내에서는 이러한 구분이 불분명하고 계리사 시험제도에도 이러한 구분이 존재하지 않고 있어 해외보험사의 국내 진출, 또는 국내보험사의 해외진출에서 전문성에 대한 도전이 실제 존재하는 상황이라고 할 수 있다.

그럼에도 불구하고 한국 보험산업의 국제적인 위상은 계속 향상되고 있는 점은 매우 고무적인 일일 것이다. 보험시장의 세계화로 한국 보험계리분야에서도 국제적으로 통용되는 계리이론과 기법이 요구되는바, 2014년부터 보험계리사 시험제도는 대폭 개정되어 현재에 이르고 있다. 본서는 개정된 보험계리사 2차 시험의 세부과목 중 하나이며, 이론뿐만 아닌 실무에서 이용되고 있는 예들을 사용하여 계리모형론 계리사시험을 준비하는 분들에게 실질적인 도움이 될 수 있고 특히 손해보험에는 아직까지 계리이론과 필요한 모형론을 다룬 전문적인 교재가 없었다는 측면에서 계리모형론 초판이 2013년에 처음 발간되었다. 이후 2017년 제2판이 발간되었고 여러 독자들의 피드백을 참고로 내용과 연습문제 추가 등, 여러 부족한 면을 보완하여 다시 제3판을 발간하게 되었다. 또한 본서를 집필하는 데 있어서 계리이론과 실제 현업에서 활용되는 실무 내용과의 괴리 현상에 대한 단점을 보완하고자 30년 가까이 미국과 한국 보험계리업무를 실제 경험한 저자와 국내 보험사의 해당업무를 경험하고 학계에서 후학을 양성하고 있는 저자가 집필함으로써 이론적인 토대에 해외, 국내 현실 상황을 조화롭게 담아내는 다양성이 반영되도록 하였다.

제3판은 적절한 예제를 추가하여 이론의 실무적 접근을 통하여 독자의 이해를 돕고자 노력하였고, 간결한 문장의 사용으로 불필요한 설명을 줄여 독자들이 빠르게 내용을 습득할 수 있도록 하였다. 본서는 제2부에서 기본적인 통계이론을 소개하고 제3, 4부에서 손해보험의 계리산정이론과 방법론을 다루게 될 것이다. 제5, 6부에서는 일반적인 위험측도와 시뮬레이션의 적용법을 다루었다. 또한, 본서는 CAS Exam 5, 7에서 다루고 있는 주제 중에서 국내의 실무에 적용할 수 있는 중요 부분을 중점적으로 소개함으로써 보험계리라는 직종에 관심을 가진 사람들이, 국내에 계리모형 전문참고서적이 없는 현 상황에서 다양한 분야에 대하여 보다 쉽고 폭넓은 이해를 높이는 데 일조를 하고자 한다. 아울러 본서는 최초의 계리모형론 교재이나 마지막 교재가 아님을 밝히고 싶다. 현재 계리분야는 끊임없는 연구와 복습이 진행되고 있는바, 이러한 첫 열매를 기반으로 하여 더욱 선진화된 주제들이 지속적으로 추가 발굴, 수정되어 출판되면서 국내 보험계리분야의 발전과 선진화에 초석의 역할을 담당하기를 소망한다. 그러므로 본서는 계리분야의 지속적인 연구발전을 위한 일련의 과정 중에 중요한 걸음을 걷고 있다는 점에 큰 의미를 두고 싶다.

끝으로 본서의 내용이 충실해지도록 많은 조언을 주신 한양대학교 보험계리학과 오창수 교수님과 심현우 교수님께 감사의 말씀을 드린다. 또한 집필과정에서 격려와 관심을 보여주신 보험연구원의 안철경 원장님과 한국계리학회의 최양호 학회장님께도 감사의 말씀을 전한다. 본서에는 많은 보험실무이론이 다루어지는바, 실무적인 조언을 해주신 보험개발원과 보험업계의 많은 실무진들께도 일일이 감사의 뜻을 표하는 바이다. 그리고 전문서적임에도 불구하고 보험업계와 한국계리학계의 발전을 위해 집필과 출간의 기회를 주신 박영사의 안종만 회장님, 바쁜 일정 속에서 정성껏 편집과 교정에 애써주신 전채린 과장님, 오치웅 대리님께도 진심으로 감사를 드리는 바이다.

2021년 2월
 저자