수학적 모델링을 통한 효율적인 문제 해결 방법 제시
“선생님, 저는 머리가 나쁜가 봐요? 다른 아이들은 문제를 보면 어떻게 해결해야 하는지 바로 아는데, 저는 문제를 이해하기도 힘들어요. 어떻게 하죠?”
이럴 때 가장 좋은 방법이 ‘이산수학’ 책을 주면서 그냥 책 읽듯이 서너 번 읽어보라고 하면 된다. 그러면 당면한 문제들을 구조에 매핑시켜 더욱 체계적으로 문제를 해결하는 방법론인 ‘수학적 모델링’을 거쳐 문제 해결 방법을 쉽게 터득할 수가 있다.
이처럼 이 책은 해결하고자 하는 복잡한 문제들을 추상화하고, 논...
수학적 모델링을 통한 효율적인 문제 해결 방법 제시
“선생님, 저는 머리가 나쁜가 봐요? 다른 아이들은 문제를 보면 어떻게 해결해야 하는지 바로 아는데, 저는 문제를 이해하기도 힘들어요. 어떻게 하죠?”
이럴 때 가장 좋은 방법이 ‘이산수학’ 책을 주면서 그냥 책 읽듯이 서너 번 읽어보라고 하면 된다. 그러면 당면한 문제들을 구조에 매핑시켜 더욱 체계적으로 문제를 해결하는 방법론인 ‘수학적 모델링’을 거쳐 문제 해결 방법을 쉽게 터득할 수가 있다.
이처럼 이 책은 해결하고자 하는 복잡한 문제들을 추상화하고, 논리적으로 엄밀하게 판단하게 하며, 정확한 방법으로 모델링할 수 있도록 거의 모든 수학의 기초 개념을 담고 있다.
이산수학을 학습하는 이유
첫째, 수학적인 논리와 이산수학의 기초를 익혀 창의적인 사고의 폭을 넓힌다. 둘째, 여러 가지 공학 분야 학습에 필요한 이산수학적인 사고와 내용을 배우기 위해서이다. 셋째, 자료구조, 알고리즘, 오토마타, 형식 언어, 컴파일러 그리고 운영체제 등을 포함하는 많은 전산 분야의 수학적 바탕을 확립한다.
넷째, 수학적 구조를 이해함으로써 다양한 응용 분야로의 바탕을 확립한다. 다섯째, 복잡한 현상들을 간략하고 정확하게 추상화시킴으로써 정교한 학문적 탐구가 가능해진다. 여섯째, 추상적 모델의 개념적 이해를 도울 수 있다.
이러한 필요성에 따라 이 책은 다양한 논제의 이산수학을 보다 쉽게 이해할 수 있도록 하는 데에 주안점을 두었다. 증명이나 입증보다는 이산수학의 기초를 이해하고, 그것과 연관되어 활용할 수 있는 터전을 마련할 수 있도록 노력하였으며, 꼭 알아야 할 것들을 보다 쉽게 이해할 수 있는 데 중점을 두었다.
이 책의 주요 내용은 다음과 같다.
제1장에서는 이산수학의 개념과 이산적 개념, 수학적 모델링을 통하여 실세계 문제를 수학적으로 매핑하는 개념, 문제 해결을 위한 효과적인 모델링 방법과 다양한 응용 분야를 다루었다. 제2장에서는 논리와 명제를 정의하고, 주요 논리 연산, 항진 명제와 모순 명제, 논리적 동치 관계, 추론과 술어 논리, 전체 한정자와 존재 한정자를 다루었다. 제3장에서는 집합의 정의, 집합의 표현, 합집합, 교집합 등의 집합의 연산과 집합의 분할 등을 다루었다.
제4장에서는 주어진 문제를 해결하기 위한 단계적 접근 방법, 수학적 귀납법, 모순 증명법, 직접 증명법 등의 증명법과 프로그램의 입증을 다루었다. 제5장에서는 관계와 이항 관계의 기본 개념, 관계의 표현법, 합성 관계, 관계의 성질, 동치 관계와 분할, 부분 순서 관계 등을 다루었다. 제6장에서는 함수의 정의, 함수의 그래프, 전사 함수, 단사 함수, 전단사 함수의 개념, 합성 함수 등 여러 함수들과 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할을 다루었다.
제7장에서는 그래프의 기본 개념, 그래프의 표현, 특수 형태의 그래프, 관계와 그래프, 그래프의 응용, 그래프의 탐색, 그래프와 색칠 문제를 다루었다. 제8장에서는 트리의 개념, 방향 트리, 이진 트리, 이진 트리의 표현, 생성 트리와 최소 비용, 문법의 파싱, 게임 등 트리의 다양한 응용 문제를 고찰하였다. 제9장에서는 순열 및 조합과 관련된 기본적인 개념, 이산적 확률과 통계, 비둘기 집 원리, 재귀적 정의, 피보나치 수와 하노이 탑 문제를 살펴보았다.
제10장에서는 행렬을 정의하고 행렬의 연산, 특수한 행렬, 행렬의 기본 연산, 행렬식의 개념과 성질, 역행렬, 선형 방정식의 해법을 고찰하였다. 제11장에서는 부울식의 기본 연산, 부울식의 표현, 카노우 맵을 통한 부울 함수의 간소화, 논리 회로의 설계, 논리 회로의 3가지 응용들을 살펴보았다. 제12장에서는 알고리즘의 정의와 효율성, 알고리즘 분석과 복잡성, 재귀 함수의 복잡성, 탐색 알고리즘, 정렬 알고리즘 등을 살펴보았다. 제13장에서는 오토마타의 기본 개념과 필요성, 유한 상태 시스템, 유한 오토마타, 형식 언어와 문법, 튜링 머신, 촘스키 포함 관계를 살펴보았다.
미국과 국내에서 이산수학과 관련된 저자의 오랜 경험과 상당 기간의 준비 과정을 통하여, 많은 대학생들이 보다 쉽게 이산수학을 익히고 응용할 수 있도록 자세한 기본 개념과 보충설명을 통하여 기초부터 차근차근 설명하였다. 이 책의 특징을 더 자세히 살펴보면 다음과 같다.
첫째, 쉬운 해설과 다양한 예제풀이를 통하여 각 논제들을 비교적 상세하게 설명하였다. 둘째, 핵심 논제들을 알기 쉽고 일관성 있게 설명하였다. 전체에 걸쳐 앞뒤에 나오는 주제와의 연관성을 고려했으며, 너무 어렵지 않도록 난이도를 적절하게 조정하였다. 셋째, 적절한 삽화와 풍부한 그림 및 다이어그램을 통해 이해 증진을 꾀하였다. 특히 상당히 많은 다이어그램을 그려서 보다 쉽게 이해할 수 있도록 노력하였다. 넷째, 여러 분야들에 적용이 가능하도록 다양하고 적절한 응용의 예들을 다루었다. 컴퓨터, 전기, 전자, 네트워크 등 다양한 분야에서의 응용으로 폭을 넓혔다. 다섯째, 문제 유형을 진위, 선택, 주관식, 도전 문제 등 다양하고 풍부한 문제들을 제시함으로써 문제 접근에 친근감을 높였다.

Chapter 01 이산수학의 개요
1.1 이산수학이란 무엇인가? 21
1.2 이산적 개념과 연속적 개념 23
1.3 수학적 모델링 25
1.4 문제 해결을 위한 모델링 26
1.5 이산수학의 응용 분야 30
■ 연습 문제 31
■ 요약 및 생활 속의 응용 33
Chapter 02 논리와 명제
2.1 논리와 명제 38
2.2 논리 연산 40
2.3 항진 명제와 모순 명제 52
2.4 논리적 동치 관계 53
2.5 추론 57
2.6 술어 논리 61
2.7 논리용 언어-Prolog 64
■ 연습 문제 66
■ 요약 및 생활 속의 응용 72
Chapter 03 집합론
3.1 집합의 표현 76
3.2 집합의 연산 85
3.3 집합류와 멱집합 96
3.4 집합의 분할 97
■ 연습 문제 100
■ 요약 및 생활 속의 응용 106
Chapter 04 증명법
4.1 증명의 방법론 111
4.2 여러 가지 증명 방법 112
4.2.1 수학적 귀납법 113
4.2.2 모순 증명법 119
4.2.3 직접 증명법 122
4.2.4 대우 증명법 123
4.2.5 존재 증명법 125
4.2.6 반례 증명법 126
4.2.7 필요충분조건 증명법 128
4.3 프로그램의 입증 130
■ 연습 문제 137
■ 요약 및 생활 속의 응용 140
Chapter 05 관계
5.1 관계와 이항 관계 145
5.2 관계의 표현 150
5.3 합성 관계 156
5.4 관계의 성질 159
5.5 동치 관계와 분할 166
5.6 부분 순서 관계 169
■ 연습 문제 174
■ 요약 및 생활 속의 응용 182
Chapter 06 함수
6.1 함수의 정의 186
6.2 함수의 그래프 192
6.3 단사 함수, 전사 함수, 전단사 함수 195
6.4 여러 가지 함수들 202
6.5 컴퓨터 언어에서의 함수의 역할 209
■ 연습 문제 212
■ 요약 및 생활 속의 응용 219
Chapter 07 그래프
7.1 그래프의 기본 개념 224
7.2 그래프의 용어 228
7.3 그래프의 표현 방법 233
7.4 특수 형태의 그래프 236
7.5 그래프의 응용 247
7.6 그래프의 탐색 253
7.7 그래프와 색칠 문제 257
■ 연습 문제 260
■ 요약 및 생활 속의 응용 268
Chapter 08 트리
8.1 트리의 기본 개념 272
8.2 방향 트리 278
8.3 이진 트리 280
8.4 이진 트리의 표현 282
8.5 이진 트리의 탐방 283
8.6 생성 트리와 최소 비용 생성 트리 290
8.7 트리의 활용 295
■ 연습 문제 303
■ 요약 및 생활 속의 응용 313
Chapter 09 순열, 이산적 확률, 재귀적 관계
9.1 경우의 수 318
9.2 순열 320
9.3 조합 323
9.4 이산적 확률과 통계 326
9.5 비둘기 집 원리 329
9.6 재귀적 정의 331
9.7 피보나치 수와 하노이 탑 335
■ 연습 문제 343
■ 요약 및 생활 속의 응용 347
Chapter 10 행렬과 행렬식
10.1 행렬과 행렬의 연산 353
10.2 특수한 행렬 364
10.3 행렬의 기본 연산과 사다리꼴 368
10.4 행렬식의 개념 372
10.5 행렬식의 일반적인 성질 376
10.6 역행렬 380
10.7 선형방정식의 해법 383
■ 연습 문제 385
■ 요약 및 생활 속의 응용 391
Chapter 11 부울 대수
11.1 부울식 397
11.2 부울식의 표현 401
11.3 부울 함수의 간소화 405
11.4 논리 회로 설계 413
11.5 논리 회로의 응용 420
■ 연습 문제 422
■ 요약 및 생활 속의 응용 428
Chapter 12 알고리즘을 통한 문제 해결
12.1 알고리즘이란 무엇인가? 432
12.2 알고리즘의 효율성 434
12.3 알고리즘 분석 435
12.4 알고리즘의 복잡성 439
12.5 재귀 함수의 복잡성 442
12.6 탐색 알고리즘 444
12.7 정렬 알고리즘 450
■ 연습 문제 455
■ 요약 및 생활 속의 응용 460
Chapter 13 오토마타, 형식 언어, 문법
13.1 오토마타란 무엇인가? 464
13.2 오토마타 학습의 필요성과 유한 상태 시스템 468
13.3 유한 오토마타 470
13.4 형식 언어와 문법 477
13.5 튜링머신 모델 485
13.6 촘스키 포함 관계 489
■ 연습 문제 492
■ 요약 및 생활 속의 응용 498
● 연습 문제 해답 501
● 참고문헌 518
● 찾아보기 521